GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 4 ગતિમાન વિધુતભારો અને ચુંબકત્વ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 4 ગતિમાન વિધુતભારો અને ચુંબકત્વ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 4 ગતિમાન વિધુતભારો અને ચુંબકત્વ

GSEB Class 12 Physics ગતિમાન વિધુતભારો અને ચુંબકત્વ Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
8.0 cm ત્રિજ્યાવાળા 100 આંટા ધરાવતા તારના એક વર્તુળાકાર ગૂંચળામાંથી 0.40 A વિધુતપ્રવાહ વહે છે. ગૂંચળાના કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) નું મૂલ્ય કેટલું હશે ? (માર્ચ – 2020 જેવો)
ઉત્તર:
વિદ્યુતપ્રવાહધારિત લૂપના કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{N} \mu_0 \mathrm{I}}{2 r}\)
= \(\frac{100 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 0.4}{2 \times 8 \times 10^{-2}}\)
∴ \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) = 3.14 × 10^-4T = π × 10^-4T

પ્રશ્ન 2.
એક લાંબા સીધા તારમાંથી 35 A વિધુતપ્રવાહ વહે છે. તારથી 20 cm અંતરે રહેલા કોઈ બિંદુ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) નું મૂલ્ય કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
\(\overrightarrow{\mathbf{B}}=\frac{\mu_0 I}{2 \pi y}\)
= \(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 35}{2 \pi \times 0.2}\)
= 3.5 × 10^-5T

પ્રશ્ન 3.
સમક્ષિતિજ સમતલમાં રહેલા એક લાંબા સીધા તારમાંથી 50 A જેટલો વિધુતપ્રવાહ, ઉત્તરથી દક્ષિણ દિશા તરફ વહે છે. તારની પૂર્વમાં 2.5 m અંતરે આવેલા કોઈ બિંદુ પાસે \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) નું મૂલ્ય અને દિશા શોધો.
ઉત્તર:

P પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 \pi y}\)
\(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 50}{2 \pi \times 2.5}\)
= 4 × 10^-6T
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ પરથી, P બિંદુ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા, પાનાના સમતલને લંબ ઊર્ધ્વદિશામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 4.
માથા પરથી પસાર થતા વીજળીના તારમાંથી 90 A વિધુતપ્રવાહ પૂર્વથી પશ્ચિમ દિશા તરફ વહે છે. આ તારથી 1.5 m નીચે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય અને દિશા શું હશે ? (માર્ચ – 2020)
ઉત્તર:

P બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 \pi y}\)
= \(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 90}{2 \pi \times 1.5}\)
= 1.2 × 10^-5T
અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના નિયમ પરથી તાર (લાઈન)ની નીચે દક્ષિણ દિશા તરફ હશે.

પ્રશ્ન 5.
0.15 T ના નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે 30° કોણ બનાવતી દિશામાં રહેલા તારમાંથી 84 વિધુતપ્રવાહ વહે છે. આ તાર પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતા ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
એમ્પિયરના અવલોકન પરથી,
F = BIlsinθ
∴ \(\frac{\mathrm{F}}{l}\) = BIsinθ
= 0.15 × 8 × sin30°
= 1.2 × \(\frac{1}{2}\)
= 0.6 N/m

પ્રશ્ન 6.
3.0 cm લંબાઈના તારમાંથી 10 A વિધુતપ્રવાહ પસાર થાય છે, જેને એક સોલેનોઇડમાં તેની અક્ષને લંબરૂપે મૂકેલો છે. સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર 0.27 T આપેલ છે. તાર પર કેટલું ચુંબકીય બળ લાગતું હશે ?
ઉત્તર:

F = BIlsinθ
= 0.27 × 10 × 3 × 10^-2 × sin90°
= 8.1 × 10^-2 × 1
= 8.1 × 10^-2 N
અને બળની દિશા ફલૅમિંગના ડાબા હાથના નિયમ પરથી મળે.

પ્રશ્ન 7.
4 cm અંતરે રહેલા બે લાંબા સીધા અને સમાંતર તાર A અને B માંથી 8.0 A અને 5.0 A વિધુતપ્રવાહો એક જ (સમાન) દિશામાં વહે છે. તાર ના 10 cm લંબાઈના વિભાગ પર લાગતું બળ શોધો.
ઉત્તર:

એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ,
\(\frac{\mathrm{F}}{l}=\frac{\mu_0 \mathrm{I}_1 \mathrm{I}_2}{2 \pi d}\)
= \(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 8 \times 5}{2 \pi \times 4 \times 10^{-2}}\)
= 2 × 10^-4Nm^-1
હવે A તારની 10 cm લંબાઈ પર લાગતું બળ,
F’ = \(\frac{\mathrm{F}}{l}\) × L
= 2 × 10^-4 × 10 × 10^-2
= 2 × 10^-5 N, A ને લંબરૂપે B તરફ આકર્ષી બળ.

પ્રશ્ન 8.
80 cm લંબાઈના એક સોલેનોઇડ પર પાસ-પાસે દરેક 400 આંટાવાળા 5 આવરણ વીંટાળ્યા છે. સોલેનોઇડનો વ્યાસ 1.8 cm છે. જો સોલેનોઇડમાં 8.0 A વિધુતપ્રવાહ વહેતો હોય, તો તેના કેન્દ્ર પાસે \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:
સોલેનોઇડના અંદરના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) = μ₀nI = μ₀pnI જયાં ρ = આવરણની સંખ્યા
= \(\frac{\mu_0 \mathrm{NI}}{l}=\frac{\mu_0 p \mathrm{NI}}{l}\)
= \(\frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 5 \times 400 \times 8}{80 \times 10^{-2}}\)
= 8 × 10^-3T

પ્રશ્ન 9.
10 cm બાજુઓવાળા એક ચોરસ ગૂંચળાને 20 આંટા છે અને તેમાંથી 12 A વિધુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. આ ગૂંચળું શિરોલંબ લટકાવેલું છે અને ગૂંચળાના સમતલનો લંબ 0.80 T મૂલ્યના સમક્ષિતિજ નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે 30° કોણ બનાવે છે. ગૂંચળું કેટલા મૂલ્યનું ટોર્ક અનુભવશે ? T
ઉત્તર:
τ = NIABsinθ
= 20 × 12 × (0.1)² × 0.8 × sin30°
= 240 × 0.01 × 0.8 × \(\frac {1}{2}\)
∴ τ = 0.96 Nm

પ્રશ્ન 10.
બે ચલિત ગૂંચળાવાળા મીટરો M₁ અને M₂ ની વિગત આ મુજબ છે :
R₁ = 10 Ω, N₁ = 30,
A₁ = 3.6 × 10^-3m² ,B₁ = 0.25 T
R₂ = 14 Ω, N₂ = 42,
A₂ = 1.8 × 10^-3m², B₂ = 0.50 T
(બંને મીટર માટે સ્પ્રિંગ અચળાંક સરખા છે.)
M₂ અને M₁ માટે,
(a) વિદ્યુતપ્રવાહ સંવેદિતાનો ગુણોત્તર અને
(b) વોલ્ટેજ સંવેદિતાનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તર:
પ્રવાહ સંવેદિતા = \(\frac{\mathrm{NBA}}{k}\) અને
વોલ્ટેજ સંવેદિતા = \(\frac{\mathrm{NBA}}{k \mathrm{R}}\)

(a) M₁ માટે પ્રવાહ સંવેદિતા S_i = \(\frac{\mathrm{N}_1 \mathrm{~B}_1 \mathrm{~A}_1}{k} \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{A}}\) અને
M₂ માટે પ્રવાહ સંવેદિતા S_i = \(\frac{\mathrm{N}_2 \mathrm{~B}_2 \mathrm{~A}_2}{k} \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{A}}\)
∴ પ્રવાહ સંવેદિતાનો ગુણોત્તર = \(\frac{\mathbf{N}_2 B_2 A_2}{N_1 B_1 A_1}\)
= \(\frac{42 \times 0.5 \times 1.8 \times 10^{-3}}{30 \times 0.25 \times 3.6 \times 10^{-3}}\)
= \(\frac{7}{5}\)
= 1.4

(b) M₁ માટે વોલ્ટેજ સંવેદિતતા S_V = \(\frac{\mathrm{N}_1 \mathrm{~B}_1 \mathrm{~A}_1}{k \mathrm{R}_1} \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{V}}\)
M₂ માટે વોલ્ટેજ સંવેદિતતા S_V = \(\frac{\mathrm{N}_2 \mathrm{~B}_2 \mathrm{~A}_2}{k \mathrm{R}_2} \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{V}}
\)
∴ વોલ્ટેજ સંવેદિતતાનો ગુણોત્તર = \(\frac{\mathrm{N}_2 \mathrm{~B}_2 \mathrm{~A}_2}{\mathrm{~N}_1 \mathrm{~B}_1 \mathrm{~A}_1} \times \frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}\)
= \(\frac{42 \times 0.5 \times 1.8 \times 10^{-3} \times 10}{30 \times 0.25 \times 3.6 \times 10^{-3} \times 14}\)
= \(\frac{42 \times 10}{30 \times 14}\)
= \(\frac{420}{420}\)
= 1

પ્રશ્ન 11.
એક ઓરડામાં 6.5 G(1 G 10^-4T) જેટલું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર રાખેલું છે. આ ક્ષેત્રમાં લંબ રૂપે એક ઇલેક્ટ્રોન 4.8 × 10⁶ ms^-1 ઝડપે છોડવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોનનો માર્ગ વર્તુળાકાર કેમ હશે તે સમજાવો. વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા શોધો. (e = 1.6 × 10^-19 C, m_e = 9.1 × 10^-31 kg)
ઉત્તર:
– સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ક્ષેત્રને લંબરૂપે દાખલ થતાં ઇલેક્ટ્રૉન પર લાગતું બળ,
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = e(\(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\))
= eυBsinθ
= eυBsin90°
\(|\overrightarrow{\mathrm{F}}|\) = eυB
આ બળની દિશા, વેગ \(\vec{v}\) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\vec{B}\) ને લંબરૂપે મળે. તેથી આ બળ ઇલેક્ટ્રોનના ગતિની માત્ર દિશા બદલે પણ તેની ઝડપ પર કોઈ અસર થાય નહીં અને ગતિ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉનને જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે તેથી ઇલેક્ટ્રૉનનો ગતિપથ વર્તુળાકાર હોય.

હવે ઇલેક્ટ્રોનના વર્તુળાકાર ગતિ માર્ગની ત્રિજ્યા માટે, કેન્દ્રગામી બળ = ચુંબકીય બળ
\(\frac{m v^2}{r}\) = Bυ
∴ r = \(\frac{m v}{\mathrm{~B} e}\) [ m_e = m = 9.1 × 10^-31 kg
= \(\frac{9.1 \times 10^{-31} \times 4.8 \times 10^6}{6.5 \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}}\)
= 4.2 × 10^-2 m
= 4.2 cm

પ્રશ્ન 12.
સ્વાધ્યાય 4.11 માં વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનના ભ્રમણની આવૃત્તિ શોધો. શું આ જવાબ ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ પર આધાર રાખે છે ? સમજાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે ઇલેક્ટ્રૉનની વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણની આવૃત્તિ v છે.
કેન્દ્રગામી બળ = ચુંબકીય બળ
\(\frac{m v^2}{r}\) = Beυ
∴ \(\frac{m v}{r}\) = Be
∴ \(\frac{m}{r}\) × rω = Be
∴ m × 2πv = Be
∴ v = \(\frac{\mathrm{Be}}{2 \pi m}\) …………….. (1)
= \(\frac{6.5 \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}}\)
= 18.18 × 10⁺⁶ Hz
= 18.18 MHz
સમીકરણ (1) માં આવૃત્તિના સૂત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપવાળું પદ આવતું નથી તેથી આવૃત્તિ એ ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 13.
(a) 1.0 T જેટલા નિયમિત સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં 8.0 cm ત્રિજ્યા અને 30 આંટા ધરાવતું વર્તુળાકાર ગૂંચળું લટકાવેલ છે, જેમાંથી 6.0 A વિધુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. ક્ષેત્રરેખાઓ ગૂંચળાના લંબ સાથે 60° કોણ બનાવે છે. ગૂંચળાનું આવર્તન ન થાય તે માટે તેના પર લગાડવા પડતા જરૂરી વિરુદ્ધ દિશાના ટોર્કનું મૂલ્ય શોધો.
(b) જો (a) માં દર્શાવેલ ગૂંચળાની જગ્યાએ અનિયમિત આકારનું બીજું કોઈ સમતલ ગૂંચળું રાખવામાં આવે કે જેનું ક્ષેત્રફળ પણ એટલું જ હોય તો તમારો જવાબ બદલાશે ? (બાકીની બીજી વિગતોમાં કોઈ ફેરફાર કર્યો નથી.)
ઉત્તર:
(a) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતાં ટૉર્કનું મૂલ્ય,
τ = NIABsinθ
= 30 × 6 × 3.14 × 64 × 10^-4 × sin60°
= 30 × 6 × 3.14 × 64 × 10^-4 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
= 31325.6 × 10^-4
≈ 3.133 Nm
ગૂંચળાને ફરતું અટકાવવા માટે સમાન મૂલ્યનું પણ વિરુદ્ધ દિશાનું ટૉર્ક લગાડવું પડે.
∴ ફરતું અટકાવવા જરૂરી ટૉર્કનું મૂલ્ય = 3.133Nm

(b) ના, કારણ કે કોઈ પણ આકારના સમતલ ગૂંચળા માટે સૂત્ર τ = NI\(\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) × B સાચું છે તેથી ટૉર્ક બદલાશે નહીં.

પ્રશ્ન 14.
બે સમકેન્દ્રિત વર્તુળાકાર ગૂંચળાઓ X અને Y ની ત્રિજ્યા અનુક્રમે 16 cm અને 10 cm છે, જે ઉત્તરથી દક્ષિણ દિશામાં રહેલા એક જ શિરોલંબ સમતલમાં રહેલા છે.. ગૂંચળા X ને 20 આંટા છે અને તેમાંથી પસાર થતો વિધુતપ્રવાહ 16A છે; જ્યારે ગૂંચળા Y ને 25 આંટા છે અને તેમાંથી 18 A વિધુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. પશ્ચિમ તરફ મોઢું રાખીને ઊભેલા અવલોકનકારની દૃષ્ટિએ X માંથી પસાર થતો પ્રવાહ વિષમઘડી અને Y માંથી સમઘડી દિશામાં છે. આ ગૂંચળાઓ વડે તેમના કેન્દ્ર પાસે ઉદ્ભવતા પરિણામી (ચોખ્ખા) ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય અને દિશા શોધો.
ઉત્તર:

ગૂંચળા X માટે : r_x = 16 cm = 0.16m, N_x = 20,
I_x = 16A

• X ગૂંચળાના લીધે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  B_x = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_x \mathrm{~N}_x}{2 r_x}\) = \(\frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2} \times \frac{16 \times 20}{0.16}\)
  ∴ B_x = 4π × 10^-4T ………… (1)
  X-ગૂંચળામાં વિષમઘડી દિશામાં પ્રવાહ વહે છે તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૂર્વ તરફ છે.
• ગૂંચળા Y માટે : r_y = 10 cm = 0.1 m, N_y = 25,
  I_y = 18 A
  Y ગૂંચળાના લીધે કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  B_y = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_y \mathrm{~N}_y}{2 r_y}\) = \(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 18 \times 25}{0.1}\)
  B_y = 9π × 10^-4T … (2)
  Y-ગૂંચળામાં સમઘડી દિશામાં પ્રવાહ વહે છે તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પશ્ચિમ તરફ છે.
• હવે B_y > B_x હોવાથી પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પશ્ચિમ તરફ મળે.
  ∴ B = B_y – B_x = 9π × 10^-4 – 4π × 10^-4 = 5π × 10^-4T
  = 1.6 × 10^-3T પશ્ચિમ તરફ .

પ્રશ્ન 15.
10 cm લંબાઈ અને 10^-3 m² આડછેદના ક્ષેત્રફળ ધરાવતા વિસ્તારમાં 100 G(1 G = 10^-4 T) જેટલું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર જરૂરી છે. એક ગૂંચળાના તારની મહત્તમ વિધુતપ્રવાહ ધારણક્ષમતા 15 A છે તથા તેના કેન્દ્ર (Core) ની આસપાસ એકમ લંબાઈ દીઠ વધુમાં વધુ 1000 આંટા/m વીંટાળી શકાય છે. આ માટે જરૂરી એવા સોલેનોઇડની યોગ્ય રચના સમજાવો. ધારો કે તેનાં કેન્દ્રમાં Core માં ફેરોમેગ્નેટિક નથી.
ઉત્તર:

• અહીં B = 100 G = 100 × 10^-4T = 10^-2T
  I = 15 A, n = 1000 આંટા/m
• સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  B = μ₀nI
  ∴ nI = \(\frac{B}{\mu_0}=\frac{10^{-2}}{4 \pi \times 10^{-7}}\)
  ∴ nI = \(\frac{7 \times 10^{-2}}{4 \times 22 \times 10^{-7}}\) = 0.0795454 × 10⁵
  ∴ n ≈ \(\frac{7955}{10}\) = 795.5 [∵ I = 10 A લેતાં]
  ∴ n = 800 નજીકનું મૂલ્ય
• તેથી, આ સોલેનોઇડની લંબાઈ 50 cm, ત્રિજ્યા આશરે 4 cm, આશરે 400 આંટા, વિદ્યુતપ્રવાહ આશરે 10 A અને છેડાઓની અસર અવગણતાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 5 × 10^-3m² આ મૂલ્યો અનન્ય નથી. અમુક મર્યાદામાં થોડાક ફેરફાર શક્ય છે.

પ્રશ્ન 16.
R ત્રિજ્યા અને એ N આંટા ધરાવતા એક વર્તુળાકાર ગૂંચળામાંથી વિધુતપ્રવાહ I પસાર થાય છે; અને તેની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી x અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય B = \(\frac{\mu_0 I R^2 N}{2\left(x^2+R^2\right)^{3 / 2}}\) જેટલું છે.
(a) દર્શાવો કે ગૂંચળાના કેન્દ્ર પાસે આ સમીકરણ જાણીતા સમીકરણ જેવું બને છે.
(b) બે સમાંતર એક, અક્ષ પર આવેલા સમાન ત્રિજ્યા R ના ગૂંચળા વિચારો, જેમના આંટાની સંખ્યા N છે તથા એક સમાન દિશામાં સમાન વિધુતપ્રવાહ ધરાવે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર પણ R છે. દર્શાવો કે બે ગૂંચળાના મધ્યમાં, તેમની અક્ષ પર આવેલા બિંદુની આસપાસ R ની સરખામણીમાં નાના અંતર સુધી ચુંબકીય ક્ષેત્ર નિયમિત હશે, જે લગભગ B = 0.72 \(\frac{\mu_0 \mathrm{NI}}{\mathrm{R}}\) વડે દર્શાવી શકાય.
(અમુક નાના અંતર સુધી નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરી શકતી આ ગોઠવણીને હેભહોલ્ટઝ ગૂંચળા કહે છે.)
ઉત્તર:
(a) B = \(\frac{\mathrm{N} \mu_0 \mathrm{IR}^2}{2\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}}\) આપેલું છે.
ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર x = 0
Bકેન્દ્ર = \(\frac{\mathrm{N} \mu_0 \mathrm{IR}^2}{2 \mathrm{R}^3}=\frac{\mathrm{N} \mu_0 \mathrm{I}}{2 \mathrm{R}}\)
જે ગૂંચળાના કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું પ્રમાણિત પરિણામ છે.

(b) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર બે ગૂંચળાના મધ્યબિંદુ પાસે નાનો 20 લંબાઈનો વિસ્તાર વિચારો.

– B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{INR}^2}{2\left(\mathrm{R}^2+x^2\right)^{3 / 2}}\) આપેલું છે.
– ‘O’ બિંદુથી P અને Q બિંદુઓ ‘d’ અંતરે છે.
⇒ ગૂંચળા-1 ના લીધે P પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,

– ગૂંચળા-2 ના લીધે P પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,

– P બિંદુ પાસે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B_p = B₁ + B₂


⇒ ગૂંચળાના મધ્યબિંદુ O થી p અને Q સમાન અંતરે હોવાથી Q બિંદુ પાસે પણ B_Q = \(\) × 0.72T ચુંબકીય ક્ષેત્ર મળે.

પ્રશ્ન 17.
25 cm આંતરિક ત્રિજ્યા અને 26 cm બહારની ત્રિજ્યા ધરાવતા એક ટોરોઇડના Core (ગર્ભ જે ફેરોમેગ્નેટિક નથી) ની આસપાસ તારના 3500 આંટા વીંટાળેલા છે. જો તારમાંથી 11 A વિધુતપ્રવાહ પસાર થતો હોય, તો
(a) ટોરોઇડની બહાર
(b) ટોરોઇડના Core ની અંદર અને
(c) ટોરોઇડ વડે ઘેરાયેલી ખાલી જગ્યામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
– અહીં, વિદ્યુતપ્રવાહ I = 11 A, આંટાની સંખ્યા N = 3500
ટૉરોઇડની બહારની ત્રિજ્યા r₂ = 26 cm
અને અંદરની ત્રિજ્યા r₁ = 25 cm

∴ ટૉરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા,
r = \(\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{25+26}{2}\) = 25.5 cm
∴ r = 0.255 m
ટૉરોઈડનો પરિઘ l = 2πr = 2π × 0.255 = 0.51πm
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા,

(a) ટૉરોઇડની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર B_O = શૂન્ય.

(b) ટૉરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B_i = μ₀nI
= 4π × 10^-7 × \(\frac{3500}{0.51 \pi}\) × 11
= 301960.78 × 10^-7
∴ B_i ≈ 3.02 × 10^-2T, સરેરાશ ત્રિજ્યા r = 25.5 cm ને અનુરૂપ છે.

(c) ટૉરોઇડ વડે ઘેરાયેલી ખાલી જગ્યામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. નોંધો કે, ટૉરોઇડમાં જેમ નું મૂલ્ય અંદરથી બહારની ત્રિજ્યા તરફ બદલાય તેમ તેના આડછેદમાં ક્ષેત્ર થોડુંક બદલાય છે.

પ્રશ્ન 18.
આપેલા પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
(a) એક ચેમ્બરમાં એવું ચુંબકીય ક્ષેત્રે પ્રસ્થાપિત કરેલ છે કે જે જુદા જુદા બિંદુએ જુદું હોય પરંતુ તેની દિશા એક જ હોય (પૂર્વથી પશ્ચિમ). એક વિધુતભારિત કણ આ ચેમ્બરમાં દાખલ થાય છે અને આવર્તન અનુભવ્યા વગર અચળ ઝડપે સુરેખ માર્ગે પસાર થાય છે. આ કણના પ્રારંભિક વેગ વિશે તમે શું કહેશો ?
(b) તીવ્ર અને અનિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધરાવતા વાતાવરણમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય અને દિશા જુદા જુદા બિંદુએ જુદાં જુદાં છે, તેમાં એક વિદ્યુતભારિત કણ દાખલ થાય છે અને જટિલ માર્ગે બહાર આવે છે. જો તેણે આ વાતાવરણ સાથે કોઈ પણ અથડામણ ન અનુભવી હોય તો શું તેની અંતિમ ઝડપ, તેની પ્રારંભિક ઝડપ જેટલી હશે ?
(c) પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ ગતિ કરતો એક ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તરથી દક્ષિણ દિશામાં નિયમિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર ધરાવતી ચેમ્બરમાં દાખલ થાય છે. નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રને કઈ દિશામાં લગાડવું જોઈએ કે જેથી ઇલેક્ટ્રોન કોઈ પણ કોણાવર્તન અનુભવ્યા વગર સીધી રેખામાં ગતિ કરે?
ઉત્તર:
(a) કણનો પ્રારંભિક વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ને સમાંતર કે પ્રતિ સમાંતર હશે. તેથી તે ક્ષેત્રમાં થોડું પણ વિચલન પામ્યા વગર સીધા પથ પર ગતિ કરે છે.

(b) હા, વિદ્યુતભારિત કણની અંતિમ ઝડપ તેની પ્રારંભિક ઝડપ જેટલી થશે કારણ કે ચુંબકીય બળ તેના વેગની દિશા બદલે છે પણ તેનું મૂલ્ય બદલતું નથી.

(c) પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશા તરફ ગતિ કરતો ઇલેક્ટ્રૉન નિયમિત વિદ્યુતભારિત ચેમ્બરમાં ઉત્તરથી દક્ષિણ દિશામાં દાખલ થાય છે. આ ગતિમાન ઇલેક્ટ્રૉન પર જો વિદ્યુત બળ ચુંબકીય બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય તો તેનું વિચલન થતું નથી. ચુંબકીય બળ દક્ષિણ દિશા તરફ હોય છે. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) નીચેની દિશા તરફ લંબરૂપે હોવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 19.
કેથોડ ગરમ થવાથી ઉત્સર્જાયેલ એક ઇલેક્ટ્રૉન 2.0 kV વિદ્યુતસ્થિતિમાન તફાવત વડે પ્રવેગિત થઈને 0.15T જેટલા નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાં દાખલ થાય છે. જો આ ક્ષેત્ર,
(a) પ્રારંભિક વેગને લંબ રૂપે હોય,
(b) પ્રારંભિક વેગ સાથે 30° કોણ બનાવતું હોય, તો ઇલેક્ટ્રૉનના ગતિપથની ગણતરી કરો. (ઑગસ્ટ – 2020)
ઉત્તર:

• અહીં, p.d. = V = 2.0 kV = 2 × 10³V, B = 0.15 T
• p.d. ના લીધે ઇલેક્ટ્રૉનને આપેલી ઊર્જા,
  \(\frac {1}{2}\)mυ² = eV
  ∴ υ = \(\sqrt{\frac{2 e \mathrm{~V}}{m}}\) ઇલેક્ટ્રૉને મેળવેલો વેગ
  = \(\sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^3}{9.1 \times 10^{-31}}}\)
  = \(\sqrt{\frac{6.4}{9.1} \times 10^{15}}\) = \(\sqrt{7.033}\) × 10⁷
  ∴ υ = 2.65197 × 10⁷ ms^-1
  ∴ υ ≈ 2.65 × 10⁷ ms^-1

(a) ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) પ્રારંભિક વેગને વાંકુ વાળે છે.

∴ r = 100.479 × 10^-5m
∴ r ≈ 1 mm તેથી
ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે 1 mm ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગતિ પથ પર ગતિ કરે છે.
નોંધ : પાઠ્યપુસ્તકના જવાબમાં ભૂલ હોઇ શકે.

(b) જયારે પ્રારંભિક વેગ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સાથે 30° નો ખૂણો બનાવે છે ત્યારે,
υ_⊥ = ∴ υsin30° = 2.65 × 10⁷ × \(\frac{1}{2}\)
∴ υ_⊥ = 1.33 × 10⁷ ms^-1 અને
υ_|| = cos30° = 2.65 × 10^-7 × 0.866
∴ υ_|| = 2.294 × 10⁷ ms^-1 ≈ 2.3 × 10⁷ ms^-1
હેલિકલ માર્ગની ત્રિજ્યા,
r = \(\frac{m v_{\perp}}{\mathrm{B} e}\)
∴ r = \(\frac{m v \sin 30^{\circ}}{\mathrm{B} e}\) = \(\frac{9.1 \times 10^{-31} \times 2.65 \times 10^7}{0.15 \times 1.6 \times 10^{-19}}\) × \(\frac{1}{2}\)
∴ r = 0.50 mm
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની દિશામાં ત્રિજ્યાનો હેલિકલ ગતિપથ જેનો વેગ ઘટક 2.3 × 10⁷ ms^-1 છે.

પ્રશ્ન 20.
હેલ્મહોલ્ટઝ ગૂંચળાઓ (વાધ્યાય 4.16 માં દશવિલ)ની મદદથી નાના વિસ્તારમાં 0.75T મૂલ્યનું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવામાં આવ્યું છે. આ જ વિસ્તારમાં, ગૂંચળાઓની સામાન્ય અક્ષને લંબરૂપે નિયમિત સ્થિર વિધુતક્ષેત્ર જાળવી રાખવામાં આવે છે. 15kV વડે પ્રવેગિત થયેલ (એક જ પ્રકારના) વિધુતભારિત કણોની એક સાંકડી કિરણાવાલી આ વિસ્તારમાં બંને ગૂંચળાઓની અક્ષ તથા સ્થિર વિધુતક્ષેત્ર બંનેને લંબરૂપે દાખલ થાય છે. જો 9.0 × 10⁵ Vm^-1 જેટલા થિર વિધુતક્ષેત્રમાં આ કિરણાવાલી આવર્તન ન અનુભવે તો વિચારો કે આ કિરણાવલી શાની બનેલી હશે? શા માટે જવાળ આજોડ નથી ?
ઉત્તર:

• અહીં B = 0.75 T, E = 9.0 × 10⁵ Vm^-1
  V = 15 kV = 15 × 10³ V
• ન ફંટાયેલા બીમ (કિરણ) માટે વિદ્યુતભારિત કણનો વેગ,
  υ = \(\frac{E}{B}=\frac{9.0 \times 10^5}{0.75}\) = 12 × 10⁵ ms^-1
• પણ વિદ્યુતભારિત કણની ગતિઊર્જા,

• હવે ડ્યુટેરોન માટે,
  \(\frac{q}{m}\) = \(\frac{1.6 \times 10^{-19}}{2 m_p}\) = \(\frac{1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27}}\)
  = 4.8 × 10⁷ C kg^-1
• આનો અર્થ જે કિરણાવલી એક પ્રોટોન અથવા એક ન્યૂટ્રોન જેવાં કે ડ્યુટેરોનની બનેલી હોય.
• જવાબ એક કણ માટે નથી કારણ કે, આપણે વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર નક્કી કર્યો છે.
• બીજા વધારાના કણો \(\mathrm{H}_{\mathrm{e}}^{2+}\) અને \(\mathrm{L}_{\mathrm{i}}^{3+}\) વગેરે માટે શક્ય જવાબ છે.

પ્રશ્ન 21.
0.45 m લંબાઈ અને 60 g દળનો એક સીધો વાહક સળિયો તેના છેડે બાંધેલા બે તાર વડે સમક્ષિતિજ લટકાવેલો છે. આ તારોમાં થઈને સળિયામાં 5.0 A જેટલો વિધુતપ્રવાહ વહે છે.
(a) આ વાહક સળિયાને લંબરૂપે કેટલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ કે જેથી (લટકાવેલ) તારોમાં તણાવ (Tension) શૂન્ય થાય ?
(b) જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર એમ જ રહેવા દઈને વિધુતપ્રવાહની દિશા ઊલટાવવામાં આવે તો તારોમાં કુલ ટેન્શન (તણાવ) કેટલું હશે ? (તારોનું દળ અવગણો) 9 = 9.8 ms^-2
ઉત્તર:
અહીં l = 0.45 m, દળ m = 60 g = 0.06 kg
પ્રવાહ I = 5.0 A, g = 9.8ms^-2

(a) જ્યારે સળિયા પર ઉપરની દિશામાં લાગતું ચુંબકીય બળ
તેનાં વજન બળ જેટલું થાય ત્યારે લટકાવેલ તારોમાં તણાવ બળ શૂન્ય થાય.
એટલે કે, ચુંબકીય બળ = વજન બળ
BIl = mg ……. (1)
∴ B = \(\frac{m g}{\mathrm{I} l}=\frac{0.06 \times 9.8}{5 \times 0.45}\) = 0.2613T
∴ B ≈ 0.26 T
– વાહક સળિયાને લંબરૂપે 0.26T નું સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એવી દિશામાં હશે કે જેથી ફલૅમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ ચુંબકીય બળ ઉપર તરફ મળે.

(b) જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર એમ જ રહેવા દેવામાં આવે અને માત્ર
સળિયામાં વહેતો પ્રવાહ ઊલટાવીએ તો તેનાં પર અધોદિશામાં ચુંબકીય બળ લાગે તેથી લટકાવેલા તારમાં તણાવ બળ,
T = BIl + mg = mg + mg
T = 2 mg [∵ પરિણામ (1)].
= 2 × 0.06 × 9.8
∴ T = 1.176 N

પ્રશ્ન 22.
કારની બેટરીને તેને ચાલુ કરતી મોટર સાથે જોડતા તાર 300 A વિધુતપ્રવાહ વહન કરે છે (થોડાક સમય માટે). આ તાર 70 cm લાંબા હોય અને તેમની વચ્ચેનું અંતર 1.5 cm હોય તો એકમ લંબાઈ દીઠ આ તારો વચ્ચે લાગતું બળ કેટલું હશે ? આ બળ આકર્ષ કે અપાકર્ષી હશે ?
ઉત્તર:

• અહીં I₁ = I₂ = 300 A, r = 1.5 cm = 1.5 × 10^-2 m
  l = 70 cm = 0.7 m
• કારની બેટરીને તેને ચાલુ કરવા જોડેલાં તારમાં વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહે છે. તેથી ઍપિયરના નિયમ અનુસાર બંને તારો વચ્ચે અપાકર્ષણ બળ લાગે છે. – એમ્પિયરના નિયમ અનુસાર વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતાં પ્રવાહના કારણે લાગતું અપાકર્ષણ બળ,
  F = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_1 \mathrm{I}_2 l}{2 \pi r}\)
  તારની એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ,
  f = \(\frac{\mathrm{F}}{l}\) = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_1 \mathrm{I}_2}{2 \pi r}\) = \(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 300 \times(-300)}{2 \pi \times 1.5 \times 10^{-2}}\)
  ∴ f = -120000 × 10^-5N/m
  ∴ f = – 1.2 Nm^-1 ∴ f નું મૂલ્ય = 1.2 Nm^-1
  આ બળ અપાકર્ષી હશે.
  નોંધ : 70 cm લાંબા તાર પર લાગતા કુલ બળનું મૂલ્ય,
  F = f × l = 1.2 × 0.7
  = 8.4 N અપાકર્ષી. કારણે કે, એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતાં બળ માટેનું સૂત્ર f = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_1 \mathrm{I}_2}{2 \pi r}\) ફક્ત અનંત લંબાઈના તાર માટે સાચું છે.

પ્રશ્ન 23.
10.0 cm ત્રિજ્યાના નળાકાર વિસ્તારમાં 1.5 T જેટલું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે જેની દિશા તેની અક્ષને સમાંતર પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ છે. 7.0 A વિધુતપ્રવાહધારિત એક તાર આ વિસ્તારમાંથી ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ પસાર થાય છે. જો,
(a) તાર આ અક્ષને છેદે,
(b) તારને ઉત્તર-દક્ષિણની જગ્યાએ ઉત્તરપૂર્વ-દક્ષિણ પશ્ચિમ દિશા તરફ ફેરવવામાં આવે (લઈ જવામાં આવે).
(c) ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં રહેલા તારને અક્ષથી 6.0 cm જેટલો નીચે લેવામાં આવે, તો આ પરિસ્થિતિઓમાં તાર પર લાગતા (ચુંબકીય) બળનું મૂલ્ય અને દિશા શું હશે ?
ઉત્તર:
(a) અહીં B = 1.5 T, I = 7.0 A
નળાકારની ત્રિજ્યા R = 10 cm = 0.1 m

• નળાકાર વિસ્તારમાં તા૨ની લંબાઈ = નળાકાર વિસ્તારનો વ્યાસ AB તાર N – S દિશામાં છે અને ક્ષેત્ર E → W દિશામાં છે. તેથી, θ = 90°
• તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
  F = BIlsinθ = 1.5 × 7 × 1 × 0.20
  = 2.1 N
• ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ અનુસાર આ બળ શિરોલંબ ઉપર તરફ લાગે છે.

(b) જો તારને N→ S થી N – E અથવા N – W તરફ ફેરવવામાં આવે ત્યારે ધારો કે તાર, ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સાથે θ કોણ બનાવે છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

• આકૃતિ પરથી \(\frac{l}{l^{\prime}}\) = sinθ ⇒ l’ = \(\frac{l}{\sin \theta}\)
• તાર પર લાગતું બળ,
  F = BIl’sinθ = B × I × \(\frac{l}{\sin \theta}\) × sinθ
  ∴ F = BIl = 2.1 N
  આ બળ શિરોલંબ અધોદિશામાં લાગે અને I અને B વચ્ચેના કોઈ પણ ખૂણા માટે સાચું છે.

(c) ઉત્તર-દક્ષિણ (N→S) દિશામાં રહેલા તારને અક્ષથી 6.0 cm જેટલો નીચે લેવામાં આવે તો જે આકૃતિ (a) વિભાગમાં દર્શાવી છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તારની લંબાઈ = 2x
પણ x = \(\sqrt{10^2-6^2}\) = 8cm = 0.08 m
∴ 2x = 2 × 0.08 = 0.16m અને θ = 90°
∴ તાર પર લાગતું બળ,
F = BIl
= 1.5 × 7 × 0.16
= 1.68 N
આ બળ પણ શિરોલંબ અધોદિશામાં લાગે છે.

પ્રશ્ન 24.
3000 G જેટલું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધન z-અક્ષની દિશામાં ઉત્પન્ન કરેલું છે. 10 cm અને 5 cm બાજુઓવાળા એક લંબચોરસ ગૂંચળામાંથી 12 A વિધુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. આકૃતિમાં દર્શાવલ જુદા જુદા કિસ્સાઓમાં ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક કેટલું હશે ? દરેક કિસ્સામાં કેટલું બળ લાગતું હશે ? કયો કિસ્સો સ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે ?

ઉત્તર:

• અહીં B = 3000 G = 3000 × 10^-4 T = 0.3T
  ક્ષેત્રફળ A = 10 × 5 = 50 cm² = 50 × 10^-4 m², I = 12 A
• ચુંબકીય ચાકમાત્રા m = I A = 12 × 50 × 10^-4
  = 0.06 Am² \(\vec{m}\) ની દિશા જાણવા માટે જમણા હાથના સ્ક્રૂનો નિયમ લગાડી શકીએ.

(a) \(\vec{m}\) = 0.06î Am², B = 0.3k̂ T
∴ \(\vec{\tau}=\vec{m} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) = 0.06î × 0.3k̂
= 0.018(î × k̂)
= 0.018 (-ĵ)
= – 0.018 ĵ Nm અથવા − 0.018 ĵ
આથી ઋણ y-અક્ષની દિશામાં 1.8 × 10^-2 Nm નું ટૉર્ક
લાગશે.

(b) \(\vec{m}\) = 0.06î Am², \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = 0.3 k̂T
આથી વિભાગ (a) માં દર્શાવ્યા મુજબનું ઋણ y-અક્ષની દિશામાં 1.8 × 10^-2 Nm નું ટૉર્ક લાગશે.

(c) \(\vec{m}\) = -0.06ĵ Am², \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = 0.3k̂T
∴ \(\vec{\tau}=\vec{m} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) = -0.06î × 0.3k̂
=- 0.018(ĵ × k̂)
= – 0.018 Nm
આમ, ઋણ ૪-અક્ષની દિશામાં 1.8 × 10^-2 Nm નું ટૉર્ક લાગશે.

(d) અહીં m = 0.06 Am², B = 0.3T
∴ τ = mBsinθ = 0.06 × 0.3 × sin90°
= 0.018 Nm
આ બળ ધન x-અક્ષ સાથે 240° ના કોણે 1.8 × 10^-2 Nm જેટલું ટૉર્ક લાગશે. ગૂંચળા પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય છે પણ
તે સમતોલનમાં નથી.

(e) અહીં ડાયપોલ મોમેન્ટ \(\vec{m}\) એ +z દિશામાં છે.
અને \(\vec{\tau}=\vec{m} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) = 1.8 × 10^-2 (k̂ × k̂)
= 0 [∵ k̂ × k̂ = 0 ]
અને સ્થિતિ ઊર્જા U = \(\vec{m} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}\)
= -0.06k̂.0.3k̂
= – 0.018J
સ્થિતિ ઊર્જા ઋણ છે તેથી તે દિશામાં સ્થાયી સંતુલનમાં છે.

(f) ડાયપોલ મોમેન્ટ \(\vec{m}\) એ z-દિશામાં છે.
\(\) = 0.06(-k̂) × 0.3k̂
= 0.018 (k̂ × k̂)
= ૦ [ ∵ k̂ × k̂ = 0
અને સ્થિતિ ઊર્જા U = –\(\vec{m} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}\)
= – 0.06(-k̂) 0.3k̂
= – [- 0.018J].
= 0.018J
અહીં સ્થિતિ ઊર્જા ધન છે તેથી તે અસ્થાયી સંતુલનમાં છે.

પ્રશ્ન 25.
20 આંટા અને 10 cm ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળાકાર ગૂંચળું તેનું સમતલ 0.10 T ના નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે રહે તે રીતે મૂકેલું છે. જો ગૂંચળામાં 5.0 A વિધુતપ્રવાહ વહેતો હોય, તો
(a) ગૂંચળા પરનું કુલ ટોર્ક,
(b) ગૂંચળા પરનું કુલ બળ,
(c) ચુંબકીય ક્ષેત્રના કારણે ગૂંચળાના તારમાંના દરેક ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું સરેરાશ બળ કેટલું હશે ?
(ગૂંચળું તાંબાના તારમાંથી બનેલું છે, જેના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 10^-5 m² છે અને તાંબા માટે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા લગભગ 10²⁹ m^-3 જેટલી આપેલ છે.)
ઉત્તર:
અહીં N = 20, ત્રિજ્યા r = 10 cm = 0.1 m,
B = 0.10 T, I = 5.0 A, B = 0°

(a) ગૂંચળા પર લાગતું ટૉર્ક,

τ = NIBAsinθ
= 20 × 5 × 0.1 π × (0.10)² × sin0°
= 0[∵ sin0° = 0]

(b) ગૂંચળાના દરેક સમૂહ ખંડોની જોડ પર લાગતાં બળો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે તેથી પરિણામી બળ શૂન્ય.

(c) દરેક ઇલેક્ટ્રૉન પર લાગતું બળ,
F = Bqυ …….. (1) [θ = 90° ⇒ sin90° = 1]
પણ I = nAυe ⇒ υ = \(\frac{\mathrm{I}}{n \mathrm{~A} e}\)
= \(\frac{5}{10^{29} \times 10^{-5} \times 1.6 \times 10^{-19}}\)
= 3.125 × 10^-5 ms^-1
પરિણામ (1) પરથી,
F = 0.1 × 1.6 × 10^-19 × 3.125 × 10^-5 = 5 × 10^-25 N
નોંધઃ F = 5 × 10^-25 N એ માત્ર ચુંબકીય બળ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 26.
60 cm લંબાઈ અને 4.0 cm ત્રિજ્યા ધરાવતા સોલેનોઇડમાં દરેક 300 આંટાના હોય તેવા 3 સ્તર વીંટાળ્યા છે. 2.5 g દળ અને 2.0 cm લંબાઈનો એક તાર સોલેનોઇડમાં (તેનાં કેન્દ્ર પાસે) અક્ષને લંબરૂપે રહેલો છે; તાર અને સોલેનોઇડની અક્ષ બંને સમક્ષિતિજ સમતલમાં છે. આ તારને અક્ષને સમાંતર બે છેડાઓ વડે બાહ્ય બેટરી સાથે જોડેલો છે, જેથી તારમાં 6.0 A વિધુતપ્રવાહ વહે છે. સોલેનોઇડના આંટાઓમાંથી કેટલા મૂલ્યનો પ્રવાહ (વહનની યોગ્ય દિશા સાથે) વહન થવો જોઈએ કે જે તારના વજનને સમતોલે ? g = 9.8 ms^-2.
ઉત્તર:

• અહીં l = 60 cm = 0.6 m, r = 4 cm = 0.04 m
  N = 3 × 300 = 900, m = 2.5 g = 2.5 × 10^-3 kg
  તારની લંબાઈ l’ = 2 cm = 0.02 cm, I’ = 6.0 A g = 9.8 ms^-2
  ધારો કે સોલેનોઇડના તારમાંથી 1 પ્રવાહ પસાર કરવાથી તારના વજનને સમતોલે.
  n = \(\frac{\mathrm{N}}{l}=\frac{3 \times 300}{0.6}\) = 1500 આંટા/મીટર
  ⇒ B = μ₀nI
  = 4π × 10^-7 × 1500 × I
  = 6 × 10^-4I T
• આ ક્ષેત્ર, વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારને લંબરૂપે લાગે છે તેથી તાર | પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
  F = BI’l’
  = 6π × 10^-4I × 6 × 0.02
  = 0.72πI × 10^-4N
• તાર પર લાગતું બળ = વજન બળ
  0.72πI × 10^-4 = mg
  0.72 × 3.14 × I × 10^-4 = 2.5 × 10^-3 × 9.8
  ∴ I = \(\frac{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8}{0.72 \times 3.14 \times 10^{-4}}\)
  ∴ I = 108.36 A ∴ I = 108.4A

પ્રશ્ન 27.
ગેલ્વેનોમીટરના ગૂંચળાનો અવરોધ 12 Ω છે અને ૩mA વિધુતપ્રવાહ માટે તે પૂર્ણ સ્કેલનું આવર્તન દશાવે છે. આ મીટરને 0 થી 18V ની અવધિના વોલ્ટમીટરમાં તમે કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરશો ?
ઉત્તર:
અહીં R_g = 12 Ω, I_g = 3 mA = 3 x 10^-3A,V = 18 V R = ?
શ્રેણીમાં જોડવો પડતો અવરોધ,
R = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{I}_g}\) – R_g = \(\frac{18}{3 \times 10^{-3}}\) – 12
∴ R = 6000 – 12
∴ R = 5988 Ω ને ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં જોડવો પડે. આપેલા ગેલ્વેનોમીટર સાથે 5988 Ω ના અવરોધને શ્રેણીમાં જોડી તેના સ્કેલને 0 V થી 18V નું અંકન કરવાથી જરૂરી વોલ્ટમીટર બને છે.

પ્રશ્ન 28.
ગેલ્વેનોમીટરના ગૂંચળાનો અવરોધ 15 Ω છે અને 4 mA વિધુતપ્રવાહ માટે તે પૂર્ણ સ્કેલનું આવર્તન દશવિ છે. તેને 0 થી 6 A અવધિના એમીટરમાં તમે કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરશો ?
ઉત્તર:

• અહીં, R_g = 15 Ω, I_g = 4 mA = 4 × 10^-3A
  I = 6A
  સમાંતર અવરોધ (શંટ અવરોધ),
  R_S = \(\frac{\mathrm{I}_g \mathrm{R}_g}{\mathrm{I}-\mathrm{I}_g}\) = \(\frac{4 \times 10^{-3} \times 15}{6-4 \times 10^{-3}}\) = \(\frac{4 \times 10^{-3} \times 15}{6.000-0.004}\)
  = \(\frac{6 \times 10^{-2}}{5.996}\)
  = 1.0006 × 10^-2A
  = 1 × 10^-2 A = 10 × 10^-3 Ω.
  = 10 m Ω
  આપેલા ગેલ્વેનોમીટરની સમાંતર 10 mΩ નો શંટ (અવરોધ) જોડી, તેના સ્કેલ પર 0 A થી 6A નું અંકન કરવાથી જરૂરી એમીટર બને છે.
• બીજી સરળ રીતઃ
  અહીં, n = \(\frac{I}{I_g}=\frac{6}{4 \times 10^{-3}}\) = \(\frac{6000}{4}\) = 1500
  અને સમાંતર અવરોધ (શંટ અવરોધ) p.Rs 152 15
  R_S = \(\frac{\mathrm{R}_g}{n-1}=\frac{15}{1500-1}\) = \(\frac{15}{1499}\)
  ∴ R_S = 0.010006 Ω
  ∴ R_S ≈ 10 × 10^-3Ω = 10 m Ω

GSEB Class 12 Physics ગતિમાન વિધુતભારો અને ચુંબકત્વ NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
એકસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\) = B₀k̂ માં બે વિધુતભારિત કણો સંપૂર્ણ રીતે પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય એવા સમાન સર્પિલાકાર (helical) માર્ગો પર ગતિ કરે છે.
(A) તેમના વેગમાનનાં z-ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ.
(B) તેમના વિદ્યુતભારો સમાન હોવા જોઈએ.
(C) તેઓ અનિવાર્યપણે કણ-પ્રતિકણની જોડી રજૂ કરે છે.
(D) વિદ્યુતભાર અને દળ ગુણોત્તર : (\(\frac{e}{m}\))₁ + (\(\frac{e}{m}\))₂ = 0 ને સંતોષે છે.
જવાબ
(D) વિદ્યુતભાર અને દળ ગુણોત્તર : (\(\frac{e}{m}\))₁ + (\(\frac{e}{m}\))₂ = 0 ને સંતોષે છે.

• વીજભારના હેલિકલ પથની વિશિષ્ટતા પરથી,
  પીય
  ∴ = \(\frac{q}{m}=\frac{2 \pi v \cos \theta}{\mathrm{PB}}\) …… (1)
  (θ એ વીજભારના વેગનો x-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.)
• બંને કણો સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર B માં સમાન હેલિકલ પથ પર વિરુદ્ધ દિશામાં એક છેડેથી બીજા છેડે જઈને ચક્ર પૂર્ણ કરે છે. તેથી સમીકરણ (1) ની ડાબી બાજુ બંને કણો માટે સમાન અને વિરુદ્ધ નિશાનીવાળા થશે. તેથી q = e લેતાં.
  (\(\frac{e}{m}\))₁ + (\(\frac{e}{m}\))₂ = 0

પ્રશ્ન 2.
બાયો-સાવરનો નિયમ સૂચવે છે કે, ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન (વેગ \(\vec{v}\)) ચુંબકીય ક્ષેત્ર B ઉત્પન્ન કરે છે, જેવા કે
(A) \(\vec{B} \perp \vec{v}\)
(B) \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \| \vec{v}\)
(C) તે વ્યસ્ત ઘનના નિયમનું પાલન કરે છે.
(D) તે ઇલેક્ટ્રૉન અને અવલોકન બિંદુને જોડતી રેખાની
દિશામાં હોય છે.
જવાબ
(A) \(\vec{B} \perp \vec{v}\)

• ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \| i d \vec{l} \times \vec{r}\) અને ઇલેક્ટ્રૉનના વહનના કારણે \(i \overrightarrow{d l}\) ઇલેક્ટ્રૉનના વેગ (\(\vec{v}\)) ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
• જમણા હાથના જૂના નિયમ પ્રમાણે \(i \overrightarrow{d l} \times \vec{r}\) ની દિશા ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે મળે. આમ, \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \perp \vec{v}\) મળે.

પ્રશ્ન 3.
R ત્રિજ્યાની પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર લૂપ x – y સમતલમાં એવી રીતે મૂકી છે કે તેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર હોય. હવે x > 0 માટે ભૂપનો અડધો ભાગ એવી રીતે વાળવામાં આવે છે કે તે ભાગ y – z સમતલમાં રહે તો, …………………… .
(A) ચુંબકીય ચાકમાત્રાનું મૂલ્ય હવે ઘટી જશે.
(B) ચુંબકીય ચાકમાત્રા બદલાતી નથી.
(C) (0. 0. z), z >> R પાસે \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) નું મૂલ્ય વધી જશે.
(D) (0. 0. z), z >> R પાસે \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) નું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
જવાબ
(A) ચુંબકીય ચાકમાત્રાનું મૂલ્ય હવે ઘટી જશે.

• xy-સમતલમાં રાખેલ વિદ્યુતપ્રવાહધારિત રિંગની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ z-દિશામાં છે. (આંગળીઓ પ્રવાહની દિશામાં રાખતાં અંગૂઠો ચુંબકીય ચાકમાત્રા (magnetic moment) ની દિશા દર્શાવે છે તેનું મૂલ્ય M = IA = I(πr²) છે.

• હવે રકમમાં બતાવ્યા પ્રમાણે રિંગને વાળતાં દરેક ભાગ માટે ચાકમાત્રા,
  M’ = Iπ(\(\frac{r}{2}\))² [∵ m = IA]
  M’ = \(\frac{\mathrm{I} \pi r^2}{4}\) મળે છે.
• xy-સમતલની અર્ધ રિંગની ચાકમાત્રા O પાસે z-દિશામાં yz-સમતલની અર્ધ રિંગની ચાકમાત્રા O પાસે x-દિશામાં મળે છે.
• બંને અર્ધ રિંગ માટે ચાકમાત્રા પરસ્પર લંબ દિશામાં મળે છે. તેથી પરિણામી ચુંબકીય ચાકમાત્રા,
  M_net = \(\sqrt{\left(\mathbf{M}^{\prime}\right)^2+\left(\mathbf{M}^{\prime}\right)^2}\) = \(\sqrt{2} \mathrm{M}^{\prime}=\sqrt{2} \frac{\mathrm{I}\left(\pi r^2\right)}{4}\)
  આમ, M_net < M
  આમ, પરિણામી ચાકમાત્રા ઘટે છે.

પ્રશ્ન 4.
એક ઇલેક્ટ્રૉનને પ્રવાહધારિત લાંબા સોલેનોઇડની અક્ષ પર અચળ વેગથી પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે ?
(A) ઇલેક્ટ્રૉન અક્ષની દિશામાં પ્રવેગિત થશે.
(B) ઇલેક્ટ્રૉનનો માર્ગ અક્ષને અનુલક્ષીને વર્તુળાકાર હશે.
(C) ઇલેક્ટ્રૉન અક્ષ સાથે 45°ના ખૂણે બળ અનુભવશે અને તેથી હેલિકલ (સ્પાઇરલ) માર્ગે ગતિ કરશે.
(D) સૉલેનોઇડની અક્ષ પર ઇલેક્ટ્રૉન અચળવેગથી ગતિ ચાલુ રાખશે.
જવાબ
(D) સૉલેનોઇડની અક્ષ પર ઇલેક્ટ્રૉન અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખશે.

• વિદ્યુતપ્રવાહધારિત સૉલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) અચળ હોય છે.
• આ ક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉન પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
  \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\)
  F = -eυBsinθ
  = -eυBsin0° [∵ θ = 0°]
  તેથી ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ પ્રમાણે ઇલેક્ટ્રૉન સૉલેનોઇડની અક્ષ પર અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખશે.

પ્રશ્ન 5.
સાઇક્લોટ્રોનમાં, કોઈ વિધુતભારિત કણ
(A) સતત પ્રવેગિત થશે.
(B) ની ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ‘D’ વચ્ચેના અવકાશમાં ઝડપ વધે છે.
(C) ની ‘D’ માં ઝડપ વધે છે.
(D) ‘D’ માં ઝડપ ઘટે છે અને ‘D’ વચ્ચેના અવકાશમાં ઝડપ વધે છે.
જવાબ
(A) સતત પ્રગતિ થશે.
– વિદ્યુતભાર હંમેશાં પ્રવેગિત ગતિ કરે છે. કારણ કે,
(i) બે Dees વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રના દોલનના કારણે ઊર્જા મળતાં તેની ઝડપ વધે છે અને પ્રવેગી ગતિ થાય છે.
(ii) Deesમાં ઝડપ અચળ રહે છે, પરંતુ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિની દિશા સતત બદલાતા વેગ બદલાય છે તેથી વિદ્યુતભારિત કણની ગતિ હંમેશાં પ્રવેગિત થાય છે.

પ્રશ્ન 6.
ચુંબકીય ચાકમાત્રા \(\overrightarrow{\mathbf{M}}\) ધરાવતી પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર લૂપને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) માં યાદૈચ્છિક રીતે ગોઠવેલ છે. લૂપને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને 30 નું ભ્રમણ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય
(A) MB
(B) \(\sqrt{3} \frac{\mathrm{MB}}{2}\)
(C) \(\frac{\mathrm{MB}}{2}\)
(D) શૂન્ય
જવાબ
(D) શૂન્ય

ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગૂંચળાને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરાવતા \(\overrightarrow{\mathbf{M}}\) અને \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) વચ્ચેનો ખૂણો બદલાતો નથી.
∴ θ₁ = θ₂ = 0°
∴ ગૂંચળાના ભ્રમણ દરમિયાન થતું કાર્ય,
W = MB[cos0° – cos0°]
= 0

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
બોટૂ મોડલ અનુસાર H-પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે ગાયરોમેગ્નેટિક રેશિયો ………………….. .
(A) તે કઈ કક્ષામાં છે તેના પર આધારિત નથી.
(B) ઋણ છે.
(C) ધ
(D) ક્વૉન્ટમ નંબર n સાથે વધે છે.
જવાબ (A, B)
– ગાયરોમેગ્નેટિક રેશિયો μl = –\(\frac{e}{2 m_e}\)l

આમ, μl એ ઇલેક્ટ્રૉનના વેગ કે કક્ષા પર આધારિત નથી. માત્ર તેના વિદ્યુતભાર e પર આધારિત છે અને તે ઋણ છે. તેથી, વિકલ્પ (A) અને (B) સાચાં.

પ્રશ્ન 2.
I જેટલો સ્થાયી પ્રવાહધારિત તાર વિચારો કે, જે તેની લંબાઈને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) માં મૂકેલ છે. તારમાં રહેલા વિધુતભારો ધ્યાનમાં લો. એ જ્ઞાત છે કે ચુંબકીય બળ કોઈ કાર્ય કરતું નથી. આ સૂચવે છે કે,
(A) વાહકની અંદર વિદ્યુતભારોની ગતિ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) દ્વારા પ્રભાવિત (અસરગ્રસ્ત) થતી નથી, કારણ કે તે ઊર્જાનું શોષણ કરતા નથી.
(B) \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ના કારણે તારની અંદરથી કેટલાક વિદ્યુતભારો સપાટી તરફ ખસી જાય છે.
(C) જો તાર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની અસર હેઠળ ગતિ કરે તો, બળ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી.
(D) જો તાર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની અસર હેઠળ ગતિ કરે તો, ચુંબકીય બળ દ્વારા આયનો કે જેમને તારમાં સ્થિર માનવામાં આવે છે, તેમની ઉપર કોઈ કાર્ય થતું નથી.
જવાબ
(B, D)

• I વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં એવી રીતે રાખેલ છે, કે જેથી તેની લંબાઈ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રહે છે. આ સ્થિતિમાં તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
  F = IlBsinθ
  θ = 90° (∵ I\(\vec{l} \perp \overrightarrow{\mathrm{B}}\))
  ∴ F = IlB
• ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ ચુંબકીય બળની દિશા ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે મળે છે. તેથી ચુંબકીય બળ દ્વારા આયનો પર થતું કાર્ય શૂન્ય છે. તેથી વિકલ્પ (B), (D) સાચાં છે.

પ્રશ્ન 3.
બે સમાન પ્રવાહધારિત સમાક્ષી લૂપોમાં, વિરુદ્ધ દિશાઓમાં પ્રવાહ I વહે છે. એક સરળ એપેરિયન લુપ બંનેમાંથી એક વખત પસાર થાય છે. આ લૂપને C કહીએ, તો
(A) \(\oint_{\mathrm{C}} \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}=\mp\) = 2μ₀I
(B) \(\oint_{\mathrm{C}} \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\) નું મૂલ્ય C ની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે.
(C) C ઉપર કોઈ એવું બિંદુ હોઈ શકે છે, જ્યાં \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) અને \(\overrightarrow{d l}\) તે લંબ હશે.
(D) C ના દરેક બિંદુ પર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) નાશ પામે (શૂન્ય બને) છે.
જવાબ
(B, C)
બંને લૂપમાં પરસ્પર વિરુદ્ધ પ્રવાહ વહે છે. તેથી એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,
\(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\) = μ₀ΣI
= μ₀ (I – I) = 0
લૂપની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોવાના લીધે C પર એવું બિંદુ મળે કે જ્યાં \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) અને \(\overrightarrow{d l}\) લૂપના સમતલને લંબ દિશામાં છે.
તેથી \(\oint \mathrm{B} d l\) = 0 અથવા \(|\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}|\) cos90° = 0
આથી વિકલ્પ (B) અને (C) સાચાં છે.

પ્રશ્ન 4.
અવકાશનો કોઈ સમઘન વિભાગ કેટલાક સમાન વિધુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોથી ભરેલો છે. આ સમઘનની કોઈ એક સપાટીને લંબરૂપે એક ઇલેક્ટ્રોન υ વેગથી સમઘનમાં દાખલ થાય છે અને આ સમતલથી વિરુદ્ધ સમતલમાંથી પોઝિટ્રોન -υ ઇ વેગથી દાખલ થાય છે. આ ક્ષણે
(A) બંને કણો પર વિદ્યુત બળોને લીધે સમાન પ્રવેગ ઉત્પન્ન થશે.
(B) બંને કણો પર ચુંબકીય બળોને લીધે સમાન પ્રવેગ ઉત્પન્ન થશે.
(C) બંને કણો સમાન દરથી ઊર્જા મેળવશે અથવા ગુમાવશે.
(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર CM) ની ગતિ ફક્ત \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) દ્વારા નક્કી થાય છે.
જવાબ
(B, C, D)

• વીજભારો પર લાગતું ચુંબકીય બળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) શૂન્ય છે અથવા \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) એ \(\vec{v}\) (અથવા \(\vec{v}\) ના ઘટકને) ને લંબ છે. જેથી વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર ગતિ કરશે.
• બંને કણોને સમાન પ્રવેગ મળશે. બંને કણો સમાન દરથી ઊર્જા મેળવશે અથવા ગુમાવશે કારણ કે, બંને કણો પર \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q \overrightarrow{\mathrm{E}}\) પ્રમાણે વિદ્યુત બળ સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં લાગશે.
• કણોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બદલાતું નથી તેથી તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) વડે શોધી શકાશે. આથી વિકલ્પ (B), (C) અને (D) સાચાં છે.

પ્રશ્ન 5.
એક વિસ્તાર કે જેમાં વિદ્યુતભારિત કણ સતત અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખશે. જ્યાં,
(A) \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 0, \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ≠ 0
(B) \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) ≠ 0, \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ≠ 0
(C) \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) ≠ 0, \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = 0
(D) \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 0, \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = 0
જવાબ
(A, B, D)

• વિદ્યુતભાર પર લાગતું વિદ્યુત બળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{E}}}=q \overrightarrow{\mathrm{E}}\) અને ચુંબકીય બળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}}=q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) ∴ F_m = qυBsinθ
• હવે જો \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 0 હોય, તો F_E = 0 અને જો sinθ = 0 અથવા θ = 0° અથવા 180° અને B ≠ 0 હોય, તો પણ F_m = 0
  ∴ વિકલ્પ (A) સાચો છે.
  – વળી, E = 0 અને B = 0 હોય તો પરિણામી બળ \(q \overrightarrow{\mathrm{E}}+q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) = 0, આ કિસ્સા માટે \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) ≠ 0, \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ≠ 0
  ∴ વિકલ્પ (B) સાચો છે.
• લૉરેન્સ બળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q \overrightarrow{\mathrm{E}}+q(\overrightarrow{\mathrm{V}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) માં જો F = 0 હોય, તો \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 0 અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = 0 તેથી વિકલ્પ (D) સાચો છે. આમ વિકલ્પ (A), (B) અને (D) સાચાં છે અને જો B = 0 પણ E # 0 હોય, તો પણ વિદ્યુતભારિત કણ વિદ્યુતક્ષેત્રના કારણે પ્રવેગી ગતિ કરે છે તેથી વિકલ્પ (C) ખોટો છે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
સાઇક્લોટ્રોનની આવૃત્તિ ω = \(\frac{e \mathrm{~B}}{m}\) નું સાચું પરિમાણ [T]^-1 છે તે ચકાસો.
ઉત્તર:
– વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે દાખલ થાય ત્યારે ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.

પ્રશ્ન 2.
દર્શાવો કે જે બળ કોઈ કાર્ય નથી કરતું તે વેગ આધારિત બળ હોવું આવશ્યક છે.
ઉત્તર:

• બળ વડે કોઈ કાર્ય થતું નથી.
  ∴ dW = \(\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{d l}\) = 0
  પણ \(\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{d l}=\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \frac{\overrightarrow{d l}}{d t}\) = × dt
  ∴ \(\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot(\vec{v} \cdot d t)\) = 0 (∵ \(\frac{\overrightarrow{d l}}{d t}=\vec{v}\))
  ∴ \(\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \vec{v}\) = 0 અથવા dt ≠ 0
  ∴ Fυcosθ = 0 ∴ θ = 90°
• જે દર્શાવે છે કે જો \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) અને \(\vec{v}\) વચ્ચેનો ખૂણો 90° હોય તો \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) એ વેગ પર આધારિત છે.
• \(\vec{v}\)ની દિશા બદલાતા \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) ની દિશા પણ બદલાય છે. તેથી કાર્ય શૂન્ય કરવા માટે બળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) એ વેગ \(\vec{v}\) પર આધારિત છે.
• \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) અને \(\vec{v}\) વચ્ચેનો ખૂણો 90° છે. આ ત્યારે જ થાય છે કે જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ, ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લબરૂપે ગતિ કરે.

પ્રશ્ન 3.
ચુંબકીય બળ v પર આધારિત છે જે પોતે (v) જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમ પર આધારિત છે, તો શું દરેક જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમથી ફ્રેમ સાથે ચુંબકીય બળ જુદું-જુદું હશે ? તો શું એ તર્કસંગત (વ્યાજબી) છે કે જુદી-જુદી નિર્દેશ ફ્રેમોમાં પરિણામી પ્રવેગનું મૂલ્ય જુદું જુદું હોય ?
ઉત્તર:
હા, વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q\left(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime}}\right)\) છે. તેથી ચુંબકીય બળ એ વેગ આધારિત છે. તેથી તે એક જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમથી બીજી ફ્રેમ સાથે બદલાય છે. તેથી ચુંબકીય બળ નિર્દેશ ફ્રેમ પર આધારિત છે. આમાંથી ઉદ્ભવતો પરિણામી પ્રવેગ જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમથી ફ્રેમ પર અધારિત નથી.

પ્રશ્ન 4.
સાઇક્લોટ્રોનમાં જો રેડિયો આવૃત્તિ (rf) વિધુતક્ષેત્રની આવૃત્તિ કરતાં બમણી થાય, તો તેમાં કોઈ વિધુતભારિત કણની ગતિનું વર્ણન કરો.
ઉત્તર:

• બે dees (ડિસ)ની વચ્ચે વીજભારની આવૃત્તિ અને રેડિયો ફ્રિક્વન્સી આવૃત્તિ (r_f) સમાન થાય તો જ વીજભાર પ્રવેગિત થાય છે. (અનુવાદની શરત જળવાય છે.)
• રેડિયો ફ્રિક્વન્સી ક્ષેત્રની આવૃત્તિ બમણી કરતાં T = \(\frac{1}{\mathrm{v}}=\frac{2 \pi m}{\mathrm{~B} q}\) અનુસાર રેડિયો ફ્રિક્વન્સી ક્ષેત્રનો આવર્તકાળ અડધો થાય છે. તેથી જેટલાં સમયમાં વીજભારિત કણ બે dees ની વચ્ચે અડધું ભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે. તેટલાં સમયમાં રેડિયો ફ્રિક્વન્સીનું એક ચક્ર (Cycle) પૂર્ણ થાય છે.
• v_r બમણી કરી છે, પરંતુ વીજભારની આવૃત્તિ તેટલી જ હોવાથી એક ભ્રમણ દરમિયાન વીજભારની ગતિ અડધા ભ્રમણ દરમિયાન પ્રવેગિત થતાં ગતિમાર્ગની ત્રિજ્યા વધે છે અને બાકીના અડધા ભ્રમણ દરમિયાન પ્રતિ પ્રવેગી ગતિ થતાં ગતિમાર્ગની ત્રિજ્યા તેટલી જ ઘટે છે. આમ, વિજભારના માર્ગની ત્રિજ્યા અંતે તેટલી જ રહે છે.

પ્રશ્ન 5.
I₁ અને I₂ પ્રવાહધારિત બે લાંબા તારોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવેલ છે. એક I₁ પ્રવાહધારિત તાર x-અક્ષ ઉપર છે અને બીજો I₂ પ્રવાહધારિત તાર કે જેને y-અક્ષને સમાંતર કોઈ રેખા ઉપર છે, જેને x = 0 અને z = d વડે દર્શાવેલ છે. x-અક્ષ ઉપર રહેલા તારને લીધે બિંદુ O₂ પર લાગતું બળ શોધો.

ઉત્તર:

• બાયૉ-સાવર્ટના નિયમ પ્રમાણે \(\mathrm{I} \overrightarrow{d l} \times \vec{r}\) ની દિશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ને સમાંતર હોય છે અને \(\mathrm{I} \vec{d} l\) પ્રવાહની દિશામાં હોય છે.
• I₁ પ્રવાહધારિત તારના કારણે O₂ બિંદુ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mathrm{I} \overrightarrow{d l} \times \vec{r}\) ને અથવા î × k̂ ને સમાંતર હશે. (કારણ કે \(\mathrm{I} \overrightarrow{d l}\) x અક્ષની દિશામાં છે. \(\vec{r}\), z-અક્ષની દિશામાં છે તેથી \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની દિશા î × k̂ ની દિશામાં લઈ શકાય).
• પરંતુ, î × k̂ = -ĵ આમ, \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) એ -y દિશામાં છે.
• O₂ પાસે I₂ પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
  \(\)
  = I₂l(ĵ) × B(-ĵ)
  = 0 મળે.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
કોઈ પ્રવાહધારિત લૂપ R ત્રિજ્યાના વર્તુળના ત્રણ સમાન ચતુર્થાંસ ( \(\frac {1}{4}\)ભાગ) થી બનેલી છે. તે x-y, y-z અને z-x
સમતલોના ધન ચરણમાં આવેલા છે. એકબીજા સાથે જોડાયેલા આ ચતુર્થાંસોનાં કેન્દ્રો ઊગમબિંદુ પર છે. ઊગમબિંદુ પાસે \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) નું મૂલ્ય અને દિશા શોધો.
ઉત્તર:

• I પ્રવાહધારિત, R ત્રિજ્યાવાળી ચાપ વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે θ ખૂણો આંતરે તો ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I} \theta}{4 \pi \mathrm{R}}\) મળે.
• xy-સમતલના પ્રવાહગાળાથી 0 પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,

• yz-સમતલના પ્રવાહગાળાથી 0 પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  \(\vec{B}_2=\frac{\mu_0 I}{4 \cdot(2 R)}\)(î)
• zx-સમતલના પ્રવાહગાળાના કારણે 0 પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,

પ્રશ્ન 2.
જેનો વિધુતભાર e અને દળ m છે તેવો વિધુતભારિત કણ વિધુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) માં ગતિ કરે છે. ગતિસંબંધિત પરિમાણરહિત રાશિઓ અને [T]^-1 પરિમાણ ધરાવતી રાશિઓની રચના કરો. (મેળવો.)
ઉત્તર:

• વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે ગતિ કરે ત્યારે ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
  \(\frac{m v^2}{\mathrm{R}}\) = qυB
  ∴ \(\frac{q \mathrm{~B}}{m}=\frac{v}{\mathrm{R}}\) = ω
  ∴ ω = \(\frac{v}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{M}^0 \mathrm{~L}^1 \mathrm{~T}^{-1}}{\mathrm{~L}^1}\) = T^-1
  આમ, [T^-1] પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિકરાશિ કોણીય આવૃત્તિ (ω) છે.
• જ્યારે પરિમાણરહિત કોઈ જ રાશિ મળશે નહીં.

પ્રશ્ન 3.
જેમાં સમાન વિધુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે તેવા એક સમઘન વિસ્તારમાં (જેનાં સમતલો યામ પદ્ધતિનાં સમતલોને સમાંતર છે) એક ઇલેક્ટ્રોન \(\vec{v}\) = υ₀î વેગથી દાખલ થાય છે. સમઘનમાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષા x-y સમતલને સમાંતર સમતલમાં નીચે તરફ સર્પિલ મળે, તો ક્ષેત્રો \(\overrightarrow{\mathbf{E}}\) અને \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) નું રેખાંકન (ગોઠવણી) સૂચવો કે જેની અસર ઇલેક્ટ્રોનને આવી ગતિ કરવા પ્રેરી શકે.
ઉત્તર:

• ચુંબકીય ક્ષેત્રના કારણે ઇલેક્ટ્રોન xy-સમતલમાં વર્તુળ પથ પર ગતિ કરે છે. જ્યારે દિશાના વિદ્યુતક્ષેત્રના કારણે તેની રેખીય ઝડપ વધે છે, તેથી તેના વર્તુળ પથની ત્રિજ્યા વધે છે. આમ, ઇલેક્ટ્રોન સ્પાઇરલ પથ પર ગતિ કરે છે.
• ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) = B₀k̂ ધારો.
  ઇલેક્ટ્રૉનનો વેગ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = υ₀î છે.
  ઇલેક્ટ્રૉન આ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દાખલ થાય ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
  \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}}\) = -e(υ₀î × B₀k̂)
  = – eυ₀B₀(î × k̂)
  = -eυ₀B₀(-ĵ)
  \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}}\) = eυ₀B₀

આ બળના કારણે ઇલેક્ટ્રૉન xy-સમતલમાં વર્તુળ પથ પર ભ્રમણ કરશે.

• x-દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્રના કારણે ઇલેક્ટ્રૉન પર \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{E}}}\) = – eE₀(k̂) જેટલું વિદ્યુત બળ લાગે છે જેથી ઇલેક્ટ્રૉન પ્રવેગિત થાય છે
  અને તેનો ગતિમાર્ગ સ્પાઇરલ આકારનો થાય છે.

પ્રશ્ન 4.
શું ચુંબકીય બળ ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમને અનુસરે છે ?
ઊગમબિંદુ પર આવેલા \(\overrightarrow{d l_1}\) = dlî અને (0, R, 0) પર આવેલા \(\overrightarrow{d l_2}\) = dĵ બે પ્રવાહ ખંડો માટે ચકાસો. બંનેમાં પ્રવાહ I છે.
ઉત્તર:

• બાયો-સાવટના નિયમ મુજબ, \(\mathrm{I} \overrightarrow{d l} \times \vec{r}\) ની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\vec{B}\) હોય છે. જ્યારે \(\mathrm{I} \overrightarrow{d l}\) પ્રવાહની દિશામાં હોય છે.
• (0, R, 0) પાસે રહેલાં dl₂ ખંડ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mathrm{I} \overrightarrow{d l_2} \times \vec{r}\)
  = Idl(î) × rĵ
  = Idlr(î × ĵ)
  ∴ \(\vec{B}\) = Idlr(k̂)
  અર્થાત z-અક્ષની દિશામાં મળશે. ‘
• આ ખંડ પર લાગતું બળ,
  = \(\overrightarrow{\mathrm{F}_2}=\mathrm{I} \overrightarrow{d l_2} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\)
  = Idl(î) × B(k̂)
  = IdlB (î × k̂)
  = IdlB(-ĵ)

આ બળ y-દિશામાં લાગશે,

• ઊગમબિંદુએ રહેલાં ખંડ dl₁ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  \(\mathrm{I} \vec{d} l_1 \times \vec{r}\) = Idlĵ × r(-ĵ)
  = 0
  \(\vec{r}\) = r(-ĵ) કારણે કે, પ્રથમ ખંડ (0, R, 0) પર છે. તેની સાપેક્ષ આ ખંડનો સ્થાન સદિશ y-દિશામાં મળે છે. આમ, આ સ્થાન પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. તેથી \(\overrightarrow{d l}_2\) ના કારણે \(\overrightarrow{d l}_1\) પર લાગતું ચુંબકીય બળ શૂન્ય હોય.
• આમ, ચુંબકીય બળો ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરતાં નથી.

પ્રશ્ન 5.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગેલ્વેનોમીટર પરિપથનો ઉપયોગ કરીને મલ્ટિરેન્જ વોલ્ટમિટરની રચના કરી શકાય છે. આપણે 10 Ω અવરોધ ધરાવતા ગેલ્વેનોમીટરનો ઉપયોગ કરી એવા વોલ્ટમીટરની રચના કરવી છે જે 2V, 20 V અને 200 V માપી શકે અને 1 mA પ્રવાહ માટે તે મહત્તમ કોણાવર્તન (deflection) ઉત્પન્ન કરે એના માટે ઉપયોગમાં લીધેલ R₁R₂ અને R₃ શોધો.

ઉત્તર:
– ગેલ્વેનો મીટરને વોલ્ટમિટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે ગેલ્વેનોમીટરની સાથે શ્રેણીમાં મોટા મૂલ્યનો અવરોધ જોડવામાં આવે છે. જે માટેનું સમીકરણ I_g(G + R) = V છે. જ્યાં I_g ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહક્ષમતા, G = ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ, R શ્રેણી અવરોધ અને V = વોલ્ટમીટરની વોલ્ટેજ ક્ષમતા છે.

(1) V = 2Vની રેન્જ માટે, [∵ IR = V પરથી]
I_G(G + R₁) = 2 (I_G = 10^-3A, G = 10 Ω)
10^-3 (10 + R₁) = 2
10 + R₁ = 2000
R₁ = 1990 Ω

(2) V = 20 V ની રેન્જ માટે,
I_G(G + R₁ + R₂) = 20
10^-310 + 1990 + R₂ ) = 20
2000 + R₂ = 20000
R₂ = 20000 – 2000
∴ R, = 18,000 Ω
R₂ = 18kΩ

(3) V = 200 V ની રેન્જ માટે,
I_G(G + R₁ + R₂ + R₃) = 200
10^-3(10 + 1990 + 18000 + R₃) = 200
∴ 20000 + R₃ = 200000
∴ R₃ = 200000 – 20000
∴ R₃ = 180000 Ω
∴ R₃ = 180 k Ω

પ્રશ્ન 6.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર 25 A પ્રવાહ ધારિત એક સુરેખ લાંબો તાર ટેબલ પર મૂકેલ છે. બીજો એક 1 m લંબાઈ અને 2.5 g દળ ધરાવતો તાર PQ છે જેમાંથી વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન પ્રવાહ વહે છે. તાર PQ ઉપર અને નીચે તરફ સરકવા માટે મુક્ત (સ્વતંત્ર) છે. તાર PQ કેટલી ઊંચાઈ સુધી ઉપર જશે ?

ઉત્તર:

• 25 A પ્રવાહ ધરાવતા ટેબલ પર રાખેલાં સ્થિર તારના કારણે PQ તાર પર લાગતું બળ, PQ ના વજન બળને સમતોલે છે.
• ટેબલ પરના 25 A પ્રવાહવાળા સ્થિર તારના કારણે h અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  B = \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi h}\) …………. (1)
• આ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં નાનો તાર મૂકતાં ઍમ્પિયરના નિયમ પ્રમાણે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
  \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}}=\mathrm{I} \vec{l} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\)
  ∴ F_m = IlBsinθ
  F_m = IlB [∵ θ = 90°]
• F_m = Il(\(\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 \pi h}\))
  F_m = (\(\frac{\mu_0 \mathrm{I}^2 l}{2 \pi h}\)) …………. (2)
• બંને તારમાંથી પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ પસાર થાય છે તેથી PQ તાર પર આ અપાકર્ષણ બળ ઊર્ધ્વ દિશામાં લાગે છે.
• આ બળ તારના વજન બળ mg ને સમતોલે તેટલી ઊંચાઈ “h” સુધી તારને ખસેડશે.
  F_g = F_m
  ∴ mg = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}^2 l}{2 \pi h}\)
  ∴ h = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}^2 l}{2 \pi m g}\)
  ∴ h = \(\frac{\left(4 \pi \times 10^{-7}\right)(25)^2(1)}{(2 \pi)\left(2.5 \times 10^{-3}\right)(9.8)}\)
  h = 51 × 10^-14
  h = 0.51 cm
  I = 25 A
  l = 1m
  n = 2.5 g
  = 2.5 × 10^-3 kg
  g = 9.8 m/s²

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
100 આંટા ધરાવતું એક લંબચોરસ ગૂંચળું (coil) ABCD (XY સમતલમાં) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તુલાની એક ભુજા સાથે લટકાવેલું છે. ગૂંચળાના વજનને સંતુલિત કરવા માટે બીજી ભુજા ઉપર 500 g દળ ઉમેરવામાં આવે છે. આ ગૂંચળામાંથી 4.9 A નો પ્રવાહ પસાર થાય છે અને 0.2 T નું અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંદરની તરફ (xz સમતલમાં) એવી રીતે લાગુ પાડવામાં આવે છે કે ફક્ત 1 cm લંબાઈ ધરાવતી CD ભુજા જ ક્ષેત્રમાં રહે, તો વધારાનું કેટલું દળ ‘m’ ઉમેરવું જોઈએ કે જેથી તુલા ફરી સંતુલન પ્રાપ્ત કરે ?

ઉત્તર:

• ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા CD પર લાગતું ચુંબકીય બળ દ્વારા તેનું વજન બળ સમતોલાવું જોઈએ.
• સમતોલન માટે પરિણામી ટૉર્ક શૂન્ય થવું જોઈએ.
• ટૉર્ક = બળની ચાકમાત્રા
  τ = (બળ) (સંદર્ભબિંદુથી બળનું લંબ અંતર)
• ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,
  તુલાની એક ભુજા પરનું ટૉર્ક = તુલાની બીજી ભુજા પરનું ટૉર્ક
  ∴ mg(l) = W_coill
  (જ્યાં l = તુલાના મધ્યબિંદુથી એક છેડાનું અંતર)
  ∴ (500)gl = W_coill
  ∴ W_coill = (500) (9.8)N
• ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીમાં : ધારો કે, ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીમાં તુલાને સમતોલવા માટે M દળમાં વધારાનું m દળ ઉમેરવું પડે છે. આ પરિસ્થિતિ માટે,
  (Mg)l + (mg)l = (W_coill)l + (IBLsin90°)l
  પરંતુ Mgl = (W_coill) છે.
  ∴ Mgl = (ILB)l (જ્યાં L = CD તા૨ની લંબાઈ છે.)
  ∴ m = \(\frac{\mathrm{BIL}}{g}=\frac{0.2 \times 4.9 \times 10^{-2}}{9.8}\)
  ∴ m = 10^-3 kg
  m = 1 g

પ્રશ્ન 2.
એક લંબચોરસ વાહક ગૂંચળું બે વિરુદ્ધ બાજુઓ પર l લંબાઈના બે તાર ધરાવે છે. એકબીજા સાથે d લંબાઈના સળિયા વડે જોડાયેલા બે તાર ધરાવે છે. દરેક તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા છે પરંતુ, આડછેદમાં પરિબળ 2 થી (1 : 2 ના પ્રમાણથી) અલગ પડે છે. જાડા તારનો અવરોધ R છે અને સળિયાઓ ઓછો અવરોધ ધરાવે છે. જે અચળ વોલ્ટેજ ઉદ્ગમ V₀ સાથે જોડાયેલા છે. આ લૂપને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર B માં તેના સમતલ સાથે 45° ના કોણે મૂકેલ છે. લૂપ ઉપર સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા લાગતું ટોર્ક (τ) શોધો.
ઉત્તર:

• જાડા તારનો અવરોધ R છે અને બીજા પાતળા તારનો અવરોધ 2R છે. બંને તાર માટે આડછેદ 2 ના પરિબળથી જુદા છે. બંને તારનું દ્રવ્ય અને લંબાઈ સમાન છે.
• પ્રથમ તાર પર લાગતું બળ અને ટૉર્ક નીચે પ્રમાણે મળે.

• બીજા તાર પર લાગતું બળ અને ટૉર્ક નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય.

• ઓહ્મના નિયમ મુજબ V = IR
  પ્રવાહ I₁ = \(\frac{\mathrm{V}_1}{\mathrm{R}_1}=\frac{\mathrm{V}_0}{\mathrm{R}}\) [∵ V₁ = V₂ = V₀]
  પ્રવાહ I₂ = \(\frac{V_2}{R_2}=\frac{V_0}{2 R}\)
• પ્રથમ તાર પર લાગતું બળ,
  F₁ = I₁lBsin45°
  F₁ = I₁lB(\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) = \(\frac{\mathrm{V}_0}{\mathrm{R}} \frac{l \mathrm{~B}}{\sqrt{2}}\)
  ∴ તાર પરનું ટૉર્ક,
  τ₁ = F₁\(\frac{d}{2}\)
  τ₁ = \(\frac{\mathrm{V}_0 \bar{l} \mathrm{~B}}{\sqrt{2} \mathrm{R}} \frac{d}{2}=\frac{\mathrm{V}_0 l \mathrm{~B} d}{2 \sqrt{2} \mathrm{R}}\)
• આ જ રીતે, બીજા પાતળા તાર માટેનું બળ અને ટૉક નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય.
  F₂ = I₂lBsin45°

• પરિણામી ટૉર્ક,
  
  જ્યાં ld = ક્ષેત્રફળ A

પ્રશ્ન 3.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = B₀î માં ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોનને અનુક્રમે (0, 0, 0) અને (0, 0, 1.5R) સ્થાનો પરથી ક્રમશઃ મુક્ત કરવામાં આવ્યા છે. દરેકના સમાન વેગમાનનું મૂલ્ય p = eBR છે. વેગમાનની દિશા પર કઈ શરત મૂકતાં તેમના ગતિપથ એકબીજાને છેદે નહીં તેવી વર્તુળાકાર કક્ષાઓ હશે ?
ઉત્તર:
જો ઇલેક્ટ્રૉન અને પૉઝીટ્રૉનથી બનતા વર્તુળના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર 28 થી વધુ હોય, તો આ વર્તુળો એકબીજાને છેદશે નહીં.

• ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) x-અક્ષની દિશામાં છે તેથી બંને કણો માટે તેમની વર્તુળાકાર કક્ષા માટેનું વેગમાન yz-સમતલમાં મળે.
• બંને કણો R ત્રિજ્યાની કક્ષામાં પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
• ધારો કે P₁ અને P₂ અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રૉન અને પૉઝીટ્રૉનના વેગમાન છે.
• ધારો કે, P₁ y-અક્ષ સાથે θ ખૂણો રચે છે અને P₂ પણ તેટલો જ ખૂણો રચે છે.
• આ ક્રમિક વર્તુળોના કેન્દ્રો ચાકમાત્રાને લંબરૂપે અને R અંતરે છે.
• ઇલેક્ટ્રૉન અને પૉઝીટ્રોનના વર્તુળ માર્ગના કેન્દ્રો અનુક્રમે C_e અને C_p છે.
• C_e ના યામ (0, – Rsinθ, Rcosθ) છે.
  C_p ના યામ (0, -Rsinθ, \(\frac {3}{2}\)R-Rcosθ) છે.
• જો બંને વર્તુળોનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર 2R કરતાં વધુ હોય, તો આ વર્તુળો એકબીજાને છેદે નહીં.
• ધારો કે, C_p અને C_e વચ્ચેનું અંતર d છે.
  ∴ d² = (2R sinθ)² + (\(\frac {3}{2}\)R – 2R cosθ)²
  d² = 4R²sin²θ + \(\frac {9}{4}\)R² – 6R²cosθ + 4R²cos²θ
  = 4R² + \(\frac {9}{4}\)R² – 6R²cosθ
• d નું મૂલ્ય 2R કરતાં વધુ હોય,
  d > 2R
  d² > 4R²
  ∴ 4R² + \(\frac {9}{4}\)R² – 6R² cosθ > 4R²
  ∴ \(\frac {9}{4}\)R² > 6R²cosθ
  ∴ \(\frac {9}{4}\) > 6cosθ
  cosθ < \(\frac {3}{8}\) અથવા
  આમ, cosθ < \(\frac {3}{8}\) જરૂરી શરત છે.

પ્રશ્ન 4.
R અવરોધ ધરાવતા 12a લંબાઈના નિયમિત વાહક તારને પ્રવાહધારિત લૂપના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ વાળવામાં આવે છે :
(i) a બાજુઓવાળો સમભુજ ત્રિકોણ
(ii) a બાજુઓવાળો ચોરસ
(iii) a બાજુઓવાળો નિયમિત ષટ્કોણ. આ ગૂંચળાઓને વોલ્ટેજ ઊગમ V₀ સાથે જોડેલ છે, તો દરેક કિસ્સામાં
ગૂંચળાઓની ચુંબકીય ચાકમાત્રા શોધો.
ઉત્તર:
ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ m = nIA હોય છે.

(i) ત્રિકોણાકાર ગૂંચળા માટે :

• ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઈ a છે.
• તારની કુલ લંબાઈ 12 a છે.
  ∴ ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા n = 3
  ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ,
  m = nIA = 4I(\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)a²) [∵ A = \(\frac{\sqrt{3} a^2}{4}\)]
  m = Ia²√3

(ii) ચોરસ ગૂંચળા માટે:

• આંટાની સંખ્યા n = 3 મળે.
  ચોરસનું ક્ષેત્રફળ A = a²
• ચોરસ ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ = nIA
  = 3I(a²)

(iii) ષટ્કોણ ગૂંચળા માટે:

• આંટાની સંખ્યા n = 2 મળે.
• ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ
  m = nIA
  = 2I(\(\frac{6 \sqrt{3}}{4}\)a²) [∵ A = \(\frac{6 \sqrt{3} a^2}{4}\)]
  n = 3√3I(a²)

પ્રશ્ન 5.
x-y સમતલમાં જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર હોય તેવી R ત્રિજ્યાની પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર લૂપ વિચારો. માની લો કે z-અક્ષની દિશામાં રેખા સંકલન નીચે મુજબ છે :
ℑ(L) = \(\left|\int_{-\mathrm{L}}^{\mathrm{L}} \overrightarrow{\mathbf{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\right|\)
(a) દર્શાવો કે, ℑ(L) માં L સાથે એકસરખો વધારો થાય છે.
(b) યોગ્ય એમ્પિરિયન લૂપનો ઉપયોગ કરી દર્શાવો કે ℑ (∞) = μ₀I જ્યાં I એ તારમાંનો વિધુતપ્રવાહ છે.
(c) ઉપરના પરિણામની સીધી ચકાસણી (પુષ્ટિ) કરો.
(d) ધારો કે આપણે વર્તુળાકાર લૂપને બદલે સમાન પ્રવાહ I ધરાવતો R ભુજાઓવાળો ચોરસ લઈએ છીએ, તો તમે ℑ(L) અને ℑ (∞) વિશે શું કહી શકશો ?
ઉત્તર:
(a) z-અક્ષ પર B(z) દરેક બિંદુએ સમાન દિશામાં છે. તેથી ℑ એ L નું મોનોટોનીક્લી (Monotonically) વિધેય છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) અને \(\overrightarrow{d l}\) એકજ દિશામાં છે. તેથી,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\) = B dlcos0 = Bdl

(b) ℑ (L) + મોટા અંતરે પરિઘ રેખાના યોગદાન દ્વારા
C = μ₀I
હવે L → ∞
મોટા અંતરનું યોગદાન → (∵ B ∝ \(\frac{1}{r^3}\))
ℑ(∞) – μ₀(I)

(c)
R ત્રિજ્યાની વિદ્યુતપ્રવાહધારિત રિંગ cy-સમતલમાં છે. તેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર છે, તો આ રિંગના કેન્દ્રથી કોઈ પણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,

પ્રશ્ન 6.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગેલ્વેનોમીટરનો ઉપયોગ કરી મલ્ટિરેન્જ પ્રવાહ મીટરની રચના કરી શકાય છે. 10 Ω અવરોધ ધરાવતું ગેલ્વેનોમીટર કે જે 1 mA પ્રવાહ માટે મહત્તમ કોણાવર્તન દશવિ છે તેનો ઉપયોગ કરી 10 mA, 100 mA અને 14 માપી શકે તેવા પ્રવાહ મીટરો બનાવવાં છે, તો તેના માટે ઉપયોગમાં લીધેલ S₁, S₂ અને S₃ નાં મૂલ્યો શોધો.

ઉત્તર:
ગેલ્વેનોમીટરને ઍમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે ગેલ્વેનોમીટરની સાથે નાના મૂલ્યનો અવરોધ (શંટ) જોડવામાં આવે છે. G અને S વચ્ચેનો સંબંધ
∴ S = \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{G}} \mathrm{G}}{\mathrm{I}-\mathrm{I}_{\mathrm{G}}}\)
જ્યાં G = ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે.
I_G = ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહક્ષમતા છે.
I₁ = 10 mA ચાટે G = G
S₁ + S₂ + S₃ = \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{G}} \mathrm{G}}{\mathrm{I}_1-\mathrm{I}_{\mathrm{G}}}\)
S₁ + S₂ + S₃ = \(\frac{(1 \times 10) \mathrm{mA}}{(10-1) \mathrm{mA}}=\frac{10}{9}\) ………….. (1)
I₂ = 100 mA માટે G = 10 + S₁
S₂ + S₃ = \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{G}}\left(\mathrm{G}+\mathrm{S}_1\right)}{\left(\mathrm{I}_2-\mathrm{I}_{\mathrm{G}}\right)}\)
= \(\frac{1 \mathrm{~mA}\left(10+S_1\right)}{(100-1) \mathrm{mA}}\) = \(\frac{10+\mathrm{S}_1}{99}\) …….. (2)
I₃ = 1A માટે G = 10 + S₁ + S₂
S₃ = \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{G}}\left(\mathrm{G}+\mathrm{S}_1+\mathrm{S}_2\right)}{\left(\mathrm{I}_3-\mathrm{I}_{\mathrm{G}}\right)}\) = \(\frac{1 \mathrm{~mA}\left(10+\mathrm{S}_1+\mathrm{S}_2\right)}{(1000-1) \mathrm{mA}}\)
∴ S₃ = \(\frac{10+\mathrm{S}_1+\mathrm{S}_2}{999}\) …………. (3)
સમી. (1) માં સમી. (2) ની કિંમત મૂકતાં
S₁ + \(\frac{10+\mathrm{S}_1}{99}=\frac{10}{9}\)
∴ S₁ + \(\frac{\mathrm{S}_1}{99}=\frac{10}{9}-\frac{10}{99}\)
100 S₁ = 110 – 10 બંને બાજુ 99 વડે ગુણતાં
∴ S₁ = \(\frac{100}{100}\) = 1 Ω ……….. (4)

સમી. (2) માં S₁ = 1 Ω મૂકતાં
S₂ + S₃ = \(\frac{10+1}{99}=\frac{11}{99}=\frac{1}{9}\) ………… (5)

સમી. (૩)ની સમી. (5) માં કિંમત

∴ S₃ ≈ 0.01 Ω

પ્રશ્ન 7.
દરેકમાંથી પ્રવાહ વહેતો હોય એવા પાંચ લાંબા તાર A, B, C, D અને E ને પંચકોણ પ્રિઝમની બાજુઓ બનાવે તે રીતે, આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવેલ છે. દરેકમાં પ્રવાહ કાગળના સમતલમાંથી બહાર તરફ વહે છે.
(a) અક્ષ ઉપર આવેલા બિંદુ 0 પાસે ચુંબકીય પ્રેરણ કેટલું હશે ? અક્ષ દરેક તારથી સમાન R અંતરે આવેલી છે.
(b) જો કોઈ એક તાર (જેમ કે A) માં પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે, તો 0 પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
(c) જો કોઈ એક તાર (જેમ કે A) માં પ્રવાહની દિશા ઊલટાવવામાં આવે, તો પરિણામ શું થશે ?

ઉત્તર:
(a) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પાંચ તાર A, B, C, D, E પુસ્તકના પાનાને લંબરૂપે છે.
– આ તારના કારણે O પાસે મળતાં ચુંબકીય પ્રેરણના સદિશોને ક્રમાનુસાર ગોઠવતાં સમતલીય બંધ પંચકોણ મળે છે. જેથી, પરિણામી ચુંબકીય પ્રેરણ શૂન્ય મળે.

(b) વિકલ્પ (a) માં ચર્ચા કર્યા પ્રમાણે, પાંચ તારના કારણે O પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય મળે છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{D}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{E}}\) = 0
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{D}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{E}}=-\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{A}}\)
ચાર તારના કારણે પરિણામી ચુંબકીય પ્રેરણનું મૂલ્ય
= \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi R}\), AO ને લંબરૂપે ડાબી તરફ.

(c) A માંથી પસાર થતાં પ્રવાહની દિશા ઊલટાવતા તેનાં કારણે મળતું ચુંબકીય પ્રેરણ \(\) મળે તેથી કેન્દ્ર પર
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર,