GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 2 સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ

Gujarat Board GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 2 સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ Important Questions and Answers.

GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 2 સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ

પ્રશ્ન 1.
ગુરુત્વબળ અથવા સ્પ્રિંગબળ શાથી સંરક્ષી બળો છે ?
ઉત્તર:
ગુરુત્વબળ અથવા સ્પ્રિંગબળ જેવાં બળની વિરુદ્ધમાં જયારે કોઈ બાહ્ય બળ પદાર્થને એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ લઈ જવા માટે કાર્ય કરે છે ત્યારે તે કાર્ય પદાર્થની સ્થિતિર્જા રૂપે સંગ્રહ પામે છે અને બાહ્ય બળ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે પદાર્થ ગતિ ઊર્જા પ્રાપ્ત કરે છે અને ગતિર્જ જેટલી જ સ્થિતિ ઊર્જા ગુમાવે છે અને ગતિઊર્જા અને સ્થિતિનો સરવાળો અચળ રહે છે. તેથી, આ પ્રકારના બળોને સંરક્ષી બળો કહે છે. દા.ત. : પ્રિમબળ, ગુરુત્વબળ, વિધુતબળ, ચુંબકીયબળ વગેરે.

પ્રશ્ન 2.
વિધુતબળ સંરક્ષી છે તેમ બતાવો અને સ્થિતવિધુત સ્થિતિની વ્યાખ્યા લખો.
ઉત્તર:
વિદ્યુતબળની વિરુદ્ધમાં જ્યારે કોઈ બાહ્ય બળની અસર હેઠળ વિધુતભારને એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ લઈ જવા માટે જે કાર્ય કરે છે તે કાર્ય વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊ રૂપે સંગ્રહ પામે છે અને જયારે બળ દૂર કરવામાં આવે છે ત્યારે વિદ્યુતભારે ગતિઊર્જા પ્રાપ્ત કરે છે અને ગતિ ઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી જ વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા ગુમાવે છે, એટલે કે, ગતિ અને વિદ્યુત સ્થિતિનું સંરક્ષણ થાય છે તેથી વિદ્યુતબળ એ સંરક્ષી બળ છે.

સ્થિતવિધુત સ્થિતિઊર્જાની વ્યાખ્યા : “અનંત અંતરેથી વિધુતક્ષેત્રમાંના કોઈ પણ બિંદુ સુધી ‘વ’ વિધુતભારને વિધુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ અચળ ઝડપે ગતિ કરાવીને લાવતાં કરવા પડતા કાર્યને તે બિંદુ પાસેની સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા કહે છે.”

પ્રશ્ન 3.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને વિધુતબળની સામ્યતા અને તફાવત લખો.
ઉત્તર:

• ગુરુત્વબળ અને સંરક્ષીબળની સામ્યતા એ છે કે, બંને સંરક્ષીબળ છે. કારણ કે બંને અંતરના વર્ગના વ્યરત પર આધારિત છે,
• આ બંને બળનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમમાં અચળાંક G આવે અને વિદ્યુતબળના નિયમમાં અચળાંક કુલંબનો અચળાંક k આવે છે.
• આ ઉપરાંત ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમમાં પદાર્થનું દળ આવે જયારે કુલંબના નિયમમાં દળના સ્થાને પદાર્થ પરનો વિધુતભાર ઐખાવે છે.

પ્રશ્ન 4.
કોઈ વિધુતભાર સંરચનાને લીધે મળતાં વિધુતક્ષેત્રમાં વિધુત સ્થિતિઉજની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:

• ધારો કે, ઊગમબિંદુએ મૂકેલા Q વિદ્યુતભારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}} \) છે.
• પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર ને R બિંદુથી P બિંદુએ Q પરના વિદ્યુતભારના લીધે અપાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધમાં લાવીએ છીએ.

(આવું ત્યારે જ બને કે જ્યારે Q અને q બંને સજાતીય હોય)

• અહીં, આપષે Q અને હું બંને ધન લીધા છે.
• પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર વ એટલો નાનો છે કે જેથી સ્ત્રોત વિધુતભાર Q ને ખલેલ પહોંચાડતો નથી.
• q વિદ્યુતભારને ર થી P સુધી લાવવા માટે ધારો કે બાહ્ય બળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\text {ext }}}\) છે અને q વિદ્યુતભાર પર વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું વિધુતબળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{E}}}\) છે.
• માટે q વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચોખું બળ શૂન્ય થાય. (એટલે કે \( \overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{ext}}}=-\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{E}}}\) એટલે q વિદ્યુતભાર અચળ ઝડપથી ગતિ કરે એટલે કે તેને પ્રવેગ નથી,
• આ સ્થિતિમાં બાહ્ય બળ વડે થયેલું કાર્ય, વિદ્યુતભાર q ની સ્થિતિ ઊર્જાના રૂપમાં સંગ્રહ પામે છે. આ કાર્ય વિધુતબળ વડે થતાં કાર્યના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
• જો q વિધુતભાર P બિંદુએ પહોંચે ત્યારબાદ બાહા બળ દૂર કરવામાં આવે તો, વિધુતબળ તે વિદ્યુતભારને Q બિંદુથી દૂર લઈ જાય છે, Pઆગળ સંગ્રહ પામેલ ઊર્જ (સ્થિતિઊર્જા) વિદ્યુતભાર વ ને ગતિઊર્જા આપવામાં એવી રીતે વપરાય છે જેથી ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
• વિધુતભારે q ને ર થી P સુધી લઈ જવામાં બાહ્ય બળ વડે થયેલું કાર્ય, અને વિધુતબળ વડે થતું કાર્ય આટલું કાર્ય વિદ્યુતભાર વ ની સ્થિતિઊર્જા રૂપે સંગ્રહ પામે છે.
  W_RP = \(\int_{\mathrm{R}}^{\mathrm{P}} \mathrm{F}_{\mathrm{ext}} \cdot \overrightarrow{d r}\)
  અને વિદ્યુતબથ વડ થતું કાર્ય W_RP = \(-\int_{\mathrm{R}}^{\mathrm{P}} \overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{E}}} \cdot \overrightarrow{d r}\) આટલું કાર્ય વિદ્યુતભાર q ની સ્થિતિઊર્જા રૂપે સંગ્રહ પામે છે.
  ∴ U = \(\int_{\mathrm{R}}^{\mathrm{P}} \mathrm{F}_{\mathrm{ext}} \cdot \overrightarrow{d r}\)

પ્રશ્ન 5.
વિધુત સ્થિતિઊર્જાનો તફાવત સમજાવો અને તેને લગતી નોંધવા લાયક બાબતો જણાવો.
ઉત્તર:

• વિધુતક્ષેત્રમાં દરેક બિંદુએ 3 વિદ્યુતભાર ધરાવતો કન્ન અમુક ચિતવિદ્યુત સ્થિતિ ધરાવે છે. P બિંદુએ + Q વિદ્યુતભાર મૂકેલો છે.

• R થી P સુધી q વિધુતભારને ગતિ કરાવતાં કરવું પડતું કાર્ય તેની R અને P પાસેની સ્થિતિના તફાવત જેટલું હોય છે.
  ∴ સ્થિતિનો તફાવત = U_P – U_R
  ∴ ΔU = U_P – U_R
  ∴ ΔU = W_RP ………………………. (1)
• q વિદ્યુતભારનું સ્થાનાંતર અપાકર્ષણબળની વિરુદ્ધમાં થાય છે, તેથી, વિધુતબળ વડે થયેલું કાર્ય ઋણ ગવાય છે.
  ∴ ΔU = – W_RP
• યાર્દચ્છિક વિદ્યુતભારના વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે, બે બિંદુઓ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિ ઊર્જાના તફાવતને એક બિંદુથી બીજ બિંદુ પર આપેલ q વિધુતભારને પ્રવેગ રહિત લઈ જવા માટે બાહ્ય બળ વડે કરવા પડતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ.
• સ્થિતિઊર્જાના તફાવત માટે નીચેની નોંધવા લાયક બાબતો : (i) સમીકરણ (1) ની જમણી બાજુનું પદ વિદ્યુતભારના માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાનો પર જ આધારિત છે.
• આનો અર્થ એ થાય કે, વિધુતભારને એકથી બીજા બિંદુએ લઈ જવા માટે અસંખ્ય માર્ગો વિચારી શકાય પણ આ ગતિ દરમિયાન વિદ્યુતક્ષેત્ર વડે થયેલું કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાનો પર જ આધાર રાખે છે પણ એ કથી બીજા બિંદુએ જવા માટેના લીધેલા માર્ગ પર આધારિત નથી. જે કુલંબના નિયમ પરથી પણ સાબિત થઈ શકે છે. જે સંરક્ષીબળની મૂળભૂત લાક્ષણિકતા છે.
  (ii) સ્થિતિઊર્જાના ખરેખરા (નિરપેક્ષ) મૂલ્યનો કોઈ અર્થ નથી પણ માત્ર સ્થિતિ ઊર્જાના તફાવત જ અગત્યના છે,
• સ્થિતિઉજનો તફાવત U_P – U_R = ΔU_RP
• જો અનંત અંતરે રહેલાં બિંદુએ સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લઈએ અને બંને બિંદુ આગળની સ્થિતિ ઊર્જામાં વાદચ્છિક અચળાંક 1 ઉમેરીએ તો,
  (U_P+α) – (U_R+α) = U_P – U_R
  ∴ U_P+α – O – α) = U_P – U_R
  ∴ U_P = U_P – U_R
  ∴ R અનંત અંતરેથી P બિંદુએ વિદ્યુતભારને લાવતાં કરવું પડતું કાર્ય
  W_RP = U_P, અથવા W_∞P = U_P
• ઉપરનું સમીકરણ P પાસે q વિદ્યુતભારની સ્થિતિઉ દેશવિ છે.
  “કોઈ પણ વિદ્યુતભારના લીધે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કોઈ પણ બિંદુએ વિદ્યુતભાર (q) ની સ્થિતિઊર્જા તે વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી તે બિંદુએ બાહ્ય બળ (વિદ્યુતબળ જેટલા જ અને વિરુદ્ધ દિશામાંના) વડે થતું કાર્ય છે.”

પ્રશ્ન 6.
વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા (વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાના તફાવત) નો SI એકમ અને પારિમાણિક સૂત્ર લખો.
ઉત્તર:
જૂલ અથવા Nm અને પારિભાષિક સૂત્ર : [M¹L² T^-2]

પ્રશ્ન 7.
વિદ્યુત સ્થિતિમાનની વ્યાખ્યા આપી સમજાવો અને તેનો SI એકમ લખો અને અન્ય એકમો જણાવો.
ઉત્તર:

• આપેલ વિધુતક્ષેત્રમાં બિંદુવતું એકમ ધન વિધુતભાર પર પરિણામ (ચોનું) બળ શૂન્ય રાખી અનંત અંતરેથી ખસેડીને આપેલા બિંદુએ લઈ જવા માટે વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કરવા પડતા કાર્યને તે વિધુતક્ષેત્રનું તે બિંદુ પાસેનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન અથવા સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતમાન કહે છે. તેને V” સંજ્ઞાથી દર્શાવાય છે તે વિદ્યુતભારોની ગોઠવણથી દ્ભવતાં વિદ્યુતશેત્રની લાક્ષણિકતા છે.

• ધારો કે, O પાસે ધન વિધુતભાર Q છે અને તેના વિધુતક્ષેત્રમાં નિયત અંતરે P અને અનંત અંતરે R બિંદુ છે.
  એકમ ધન વિદ્યુતભાર q ને અનંત અંતરેથી મે સુધી લાવતાં કરવું પડતું કાર્ય તે વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જા દવિ છે.
  ∴ P પાસેની સ્થિતિઊર્જા U_P અને R પાસેની સ્થિતિ U_R
  પણ \(\frac{\mathrm{U}_{\mathrm{P}}-\mathrm{U}_{\mathrm{R}}}{q}\) ને તે બિંદુઓ આગળના વિદ્યુત સ્થિતિમાન તફાવત કહે છે.
  ∴ V_P – V_R = \(\frac{\mathrm{U}_{\mathrm{P}}-\mathrm{U}_{\mathrm{R}}}{q} \) ………………….. (1)
  જયાં છે, અને V_P અનુ V_R ક્રમે P અને B બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
• સ્થિતિમાનના નિરપેક્ષ મૂલ્યનો કોઈ અર્થ નથી પન્ન માત્ર વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવતનું જ મહત્ત્વ છે.
• જે અનંત અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય લઈએ તો સમીકરણ (1) પરથી V_P = \(\frac{\mathrm{U}_{\mathrm{P}}-\mathrm{U}_{\mathrm{R}}}{q} \)
• આમ, એકમ ધન વિધુતભારને અનંત અંતરેથી આપેલા બિંદુએ પ્રવેગરહિત લાવવા માટે બાહ્યા બળ વડે થતું કાર્ય એટલે તે બિંદુ આગળનું સ્થિતવિધુત સ્થિતિમાન.

આ વ્યાખ્યા માટે બે બાબતો ધ્યાનમાં રાખવી જોઈએ.

1. કોઈ આપેલ વિદ્યુતભારે ગોઠવણીને લીધે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર વડે પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર q પર થતું કાર્ય, તેના ગતિમાર્ગથી સ્વતંત્ર છે અને માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાનો પર જ આધારિત છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.
2. એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર થતું કાર્ય δW મેળવવા માટે સૂક્ષ્મ વિધુતભાર δq લેવો જોઈએ તેને અનંત અંતરેથી આપેલા બિંદુએ લાવવા માટેનું કાર્ય મેળવવું જોઈએ અને તેના પરથી \( \frac{\delta \mathrm{W}}{\delta q}\) નો ગુણોત્તર શોધવો જોઈએ અને સમગ્ર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ બાહ્યબળ તે બિંદુએ પરીક્ષણ વિધુતભાર પર લાગતા વિધુતબળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ,

વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ અદિશ રાશિ છે તેનો SI એકમ \(\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} \) અથવા વોલ્ટ ‘V’ છે જે વોટા નામના વૈજ્ઞાનિકની યાદગીરી માટે છે.
બીજી એકમ V = \(\frac{J}{C}=\frac{N m}{C}=\frac{W b}{S}=\frac{T m}{A}\)
અને પારિમાલિક સૂત્ર : [M¹L²T^-3A^-1]

પ્રશ્ન 8.
બિંદુવતુ ધન વિધુતભારના વિધુતક્ષેત્રમાં અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દેશાવ્યા પ્રમાણે ઊગમબિંદુએ બિંદુવત્ ધન વિદ્યુતભાર Q મૂકેલો છે અને ઊગમબિંદુથી r સ્થાન દિશ ધરાવતું બિંદુ P છે.

• ધારો કે પરીક્ષલ ધન વિદ્યુતભારને અંનત અંતરેથી અપાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધમાં ગતિ કરાવીને P બિંદુએ લાવતાં બાહ્ય બળ વડે થતું કાર્ય ધન છે જે આકૃતિમાં એક સગવડભર્યા માર્ગ પર બનાવ્યું છે.
• આ માર્ગ પરના P’ જેવાં બિંદુ પાસે એકમ ધન પરીક્ષણ વિધુતભાર પર લાગતું બળ,
  F = \(\frac{k \mathrm{Q} \times 1}{\left(r^{\prime}\right)^2} \hat{r}^{\prime}\) …………………………….. (1)
  (જયાં એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય r̂ એ P’ નું ઊગમબિંદુથી અંતરે ‘ એ ઊગમબિંદુથી P’ ની દિશામાંનો એકમ સદિશ)
• r̂ થી r’ + Δr’ સુધીના સ્થાનાંતરમાં આ બળ વિરુદ્ધ થતું કાર્ય,
  ΔW = \(-\frac{k \mathrm{Q}}{\left(r^{+}\right)^2} \cdot \Delta r^{\prime} \) ……………………………….. (2) [W = Frcosθ પરથી]
  સૂત્રમાં Δr’ < 0 હોવાથી ΔW> 0 મળે.
• એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને અનંતથી r અંતરે લાવતાં થતું કુલ કાર્ય r’ = ∞ થી r’ = r સુધી સંકલન કરવાથી મળે છે.

પ્રશ્ન 9.
બિંદુવતું વિધુતભાર Q માટે અંતર r સાથે સ્થિતિમાનનો ફેરફાર અને વિધુતક્ષેત્રના ફેરફારનો આલેખ દોરો.
ઉત્તર:

બિંદુવતું વિધુતભારનું સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિમાન V = \(\frac{k \mathrm{Q}}{r}\)
અને વિદ્યુતક્ષેત્ર E = \(\frac{k \mathrm{Q}}{r^2}\) છે. તેમાં kQ સમાન
∴ V ∝ \(\frac{1}{r}\) અને E ∝ \(\frac{1}{r^2}\)
આમ, વિદ્યુત સ્થિતિમાન અને વિદ્યુતક્ષેત્ર એ અંતર r સાથે કેવી રીતે બદલાય છે તે દર્શાવે છે.
વિદ્યુત સ્થિતિમાનનું સમીકરણ V = \(\frac{k \mathrm{Q}}{r}\) દર્શાવે છે કે જો Q ધન હોય, તો દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન ધન મળે અને Q કન્ન હોય, તો દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન કન્ન મળે છે. વધુમાં બિંદુવતું વિધુતભારના કારણે કોઈ બિંદુ પાર્સનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન તેના અંતરના વ્યક્તિ પ્રમાણમાં છે એટલે કે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ઘટે અને વિરુદ્ધ દિશામાં વધે.

પ્રશ્ન 10.
વિધુત સ્થિતિમાન અને વિધુત સ્થિતિઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત લખો.
ઉત્તર:

વિધુત સ્થિતિમાન (V)	વિદ્યુત સ્થિતિઉજd (U)
(1) અનંત અંતરેથી વિદ્યુતક્ષેત્રમાં જુદાં જુદાં બિંદુઓ પર એકમ ધન વિધુતભારને લઈ જતાં થતું કાર્ય છે.	(1) વિદ્યુતતંત્રના બધા વિદ્યુતભારોને અનંત અંતરેથી વિદ્યુતભાર એકમ ધન વિધુતભારને લઈ જતાં થતું કાર્ય છે.
(2) આ તંત્રમાં લાવતાં થતું કાર્ય છે.	(2) આ વિદ્યુતતંત્રની સ્થિતિઊર્જા નથી.
(3) તેનો એકમ જૂલ/કુલંબ અથવા વોલ્ટ છે.	(3) તેનો એકમ જૂલ છે.
(4) V(A) = \(\frac{W_{\infty A}}{q_0} \) એકમ ધન વિધુતભાર	(4) U(A) = qV(A)

પ્રશ્ન 11.
વિદ્યુત ડાયપોલને લીધે કોઈ પણ બિંદુ આગળનું વિદ્યુત સ્થિતિમાનનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ડાયપોલનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર રહે તેમ એક વિદ્યુત ડાયપોલ મૂકેલી છે. તેના પરના વિદ્યુતભારો – q અને +q છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર 2a છે અને તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ P = 2aq છે તથા તેની દિશા –q થી +q તરફની છે.
ડાયપોલના કેન્દ્રથી r અંતરે P બિંદુ છે. + q અને -q વિદ્યુતભારથી Pના અંતરો અનુક્રમે r₁ અને r₂ છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે,

P બિંદુએ +q વિદ્યુતભારના લીધે મળતું સ્થિતિમાન, V₁ = \(\frac{k(+q)}{r_1} \) અને
– q વિદ્યુતભારના લીધે મળતું સ્થિતિમાન, V₂ = \(\frac{k(-q)}{r_2}=-\frac{k q}{r_2}\)
સંપાતપણાના સિદ્ધાંત અનુસાર P પાસે કુલ સ્થિતિમાન,
V = V₁+ V₂
= \(\frac{k q}{r_1}-\frac{k q}{r_2}\)
= kq \(\left[\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right]\) ………………………. (1)

qN ⊥ OP દોરો ∆qON માં ∠qON
∴ ON = r – r₁
અને cosθ = \(\frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{O} q} \)
⇒ ON = Oqcosθ
∴ r–r₁ = acosθ
⇒ r₁ = r – acosθ
∴ r₁ = r[1- \(\frac{a}{r}\) cosθ) ………………………….. (2)

⇒ r₁² = r²\(\left(1-\frac{a}{r} \cos \theta\right)^2 \)

આમ, બિંદુવતું વિદ્યુતભારનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન \(\frac{1}{r}\) અનુસાર ડાયપોલને કારણે મળતું વિદ્યુત સ્થિતિમાન ડાયપોલથી અંતર સાથે \(\frac{1}{r^2}\) સૂત્ર અનુસાર ઘટે છે. આ સમીકરણ અલૂ કીય ડાયપોલને સારી રીતે લાગુ પડે છે કારત્ત કે અસુકીય ડાયપોલની લંબાઈ 2a’ ઘણી નાની છે.

પ્રશ્ન 12.
વિધુત ડાયપોલને કારણે ઉદ્ભવતા વિધુત સ્થિતિમાનનું સૂત્ર લખીને તેનાં નોંધપાત્ર મુદ્દાઓ જણાવો અને તેના ખાસ કિસ્સાઓ ચર્યો.
ઉત્તર:
વિદ્યુત સ્થિતિમાન V = \(k\left(\frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^2}\right) \)

• વિદ્યુત ડાયપોલના કારણે કોઈ બિંદુએ ઉદ્ભવતું વિદ્યુત સ્થિતિમાન માત્ર અંતર r પર જ આધાર રાખતું નથી પણ તે બિંદુના સ્થાનસદિશ r̂ અને વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ \(\vec{p}\) વચ્ચેના ખૂણા પર પણ આધારિત છે.
• વિદ્યુત સ્થિતિમાન, ડાયપોલથી અંતર સાથે \(\frac{1}{r^2}\) અનુસાર ઘટે છે નહીં કે બિંદુવતુ વિદ્યુતભારના કિસ્સામાં હોય છે તેમ\(\frac{1}{r}\) અનુસાર. ડાયપોલ અને બિંદુવતું વિદ્યુતભાર માટે અંતર r સાથે વિદ્યુત સ્થિતિમાનના આલેખો દર્શાવ્યા મુજબ છે.

કિસ્સાઓ :
1. ડાયપોલની અક્ષ પરના બિંદુ માટે θ = 0° અથવા π હોવાથી, V_a = \(\pm \frac{k p}{r^2} \)
2. વ્રયપોલની વિષવરેખા પરના બિંદુ માટે θ = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ V_e = 0.

પ્રશ્ન 13.
n વિધુતભારોના સમૂહના લીધે કોઈ પણ બિંદુ આગળના વિધુત સ્થિતિમાનનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
કોઈ ઊગમબિંદુની સાપેક્ષે \(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}, \ldots, \overrightarrow{r_n}\) સ્થાન સદિશો ધરાવતા વિદ્યુતભારો અનુક્રમે q₁,q₂, ………..,q_n છે.

P બિંદુ આગળ q₁ વિદ્યુતભારના લીધે વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
V₁ = \(\frac{k q_1}{r_{1 \mathrm{P}}}\) જ્યાં k કુલંબનો અચળાંક = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\)
અને r_1p = q₁ વિદ્યુતભાર અને P બિંદુ વચ્ચેનું અંતર
આવી જ રીતે, q₁,q₂, ………..,q_n વિદ્યુતભારોના લીધે P પાસે વિધુત સ્થિતિમાન અનુક્રમે,
V₂ = \(\frac{k q_2}{r_{2 \mathrm{P}}}\), V₃ = \( \frac{k q_3}{r_{3 \mathrm{P}}}\) અને
V_n = \(\frac{k q_n}{r_{n \mathrm{P}}}\)
જયાં r_2P અને r_nP એ P બિંદુથી અનુક્રમે q ₂ અને q_n ના અંતરો છે.
વિદ્યુત સ્થિતિમાન અદિશ રાશિ છે. તેથી P પાસે કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
V = V₁ + V₂+V₃+………………….,V_n
∴ V = K \(\left[\frac{q_1}{r_{1 \mathrm{P}}}+\frac{q_2}{r_{2 \mathrm{P}}}+\frac{q_3}{r_{3 \mathrm{P}}}+\ldots \ldots \frac{q_n}{r_{n \mathrm{P}}}\right]\)
∴ V = \(k \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{r_{i \mathrm{P}}}\) જયાં i = 1, 2, 3, … n
જે ઊગમબિંદુની સાપેક્ષે P બિંદુનો સ્થાન સદિશ \(\vec{r}\) અને q₁,q₂,……………,q_n વિદ્યુતભારોના સ્થાન સદિશ અનુક્રમે \(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}, \ldots, \overrightarrow{r_n}\) હોય, તો P બિંદુ પાસેનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
V = \(k \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{\left(\vec{r}-\overrightarrow{r_i}\right)}\) જ્યાં i = 1,2,3,………………….n
અને \( \vec{r}_{i \mathrm{P}}=\left(\vec{r}-\overrightarrow{r_i}\right)\).

પ્રશ્ન 14.
સતત વિધુતભાર વિતરણના લીધે કોઈ બિંદુ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાનના સૂત્રો લખો.
ઉત્તર:
સતત વિદ્યુતભાર વિતરણ (પ્રકરણ-1 માં જોયું તેમ) ત્રણ રીતે થાય છે. રેખીય સતત વિતરણ માટે, P બિંદુ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
V_L = \(k \int_{\mathrm{L}} \frac{\lambda d \mathrm{~L}}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r_i}\right|}\)
જયાં λ = વિધુતભારની રેખીય જનતા
dL = સૂમ લંબાઈનો ખંડ
\(\vec{r}\) = P બિંદુનો સ્થાન સદિશ
\(\overrightarrow{r_i} \) = dL ખંડનો સ્થાન સદિશ i = 1, 2,…………………,N
પૃષ્ઠ પરના સતત વિતરણ માટે, P બિંદુ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
V_S = \(k \int_{\mathrm{S}} \frac{\sigma d \mathrm{~S}}{\vec{r}-\overrightarrow{r_i} \mid}\)
જયાં σ = વિધુતભારની પૃષ્ઠઘનતા
dS = સૂક્ષ્મ પૃષ્ઠખંડનું ક્ષેત્રફળ
\(\vec{r}\) = P બિંદુનો થાન સદિશ
\(\overrightarrow{r_i}\) = dS ખંડનો સ્થાન સદિશ i = 1, 2, …,n
કદ પરના સતત વિતરણ માટે P બિંદુ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
V_V = \(k \int_{\mathrm{V}} \frac{\rho d \mathrm{~V}}{\vec{r}-\overrightarrow{r_i} \mid} \)
જયાં ρ = વિધુતભારની કદ ઘનતા
dV= સૂકમ કદ ખંડનું કદ
\(\vec{r} \) = P બિંદુનો સ્થાન સદિશ
\(\overrightarrow{r_i} \) = dV ખંડનો સ્થાન સદિશ i = 1, 2, ……………………….., n

પ્રશ્ન 15.
નિયમિત વિધુતભાર વિતરણ ધરાવતા પાતળા ગોળાકાર
વિધુતભારિત ક્વયને કારણે ક્વયની બહાર, સપાટી પર અને તેની અંદરના બિંદુ માટે સ્થિતિમાનના સૂત્રો લખો.
ઉત્તર:
પ્રકરણ 1 માં આપણે જોયું છે કે, સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોળાકાર કવચ માટે કવચની બહાર વિધુતક્ષેત્ર જશે કે બધો વિધુતભાર કવચમાં કેન્દ્રિત થયેલો હોય તેમ ગણી શકાય અને બિદુવતું વિદ્યુતભારના લીધે વિદ્યુતક્ષેત્ર મળે છે.
કવચની બારના અને ગોળાકાર સપાટી પરના બિંદુએ સ્થિતિમાન, V = \(\frac{k q}{r}(r \geq \mathrm{R})\)
જયાં q = કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર
R = કવચની ત્રિજયા
k = કુલંબનો અચળાંક

કવચના અંદરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે એટલે કવચની અંદર સ્થિતિમાન અચળ છે અને તેનું મૂલ્ય કવચની સપાટી પરના થિતિમાન જેટલું જ છે.
∴ V = \(\frac{k q}{\mathrm{R}}(r \leq \mathrm{R})\).

પ્રશ્ન 16.
નિયમિત વિધુતભારિત ગોળીય વય માટે સ્થિતિમાન વિરુદ્ધ અંતર r નો આલેખ દોશે.
ઉત્તર:
કવચ માટે V→r નો આલેખ

પ્રશ્ન 17.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એટલે શું ?
(1) બિંદુવતુ વિધુતભાર
(2) થોડા અંતરે રહેલાં +q અને -q વિધુતભાર (ડાયપોલ)
(3) ચોડા અંતરે રહેલાં બે +q વિધુતભાર
(4) સમાન વિધુતક્ષેત્રના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો દોરો.
ઉત્તર:
એક સરખું વિધુત સ્થિતિમાન ધરાવતા બિંદુઓમાંથી પસાર થતાં કાલ્પનિક પૃષ્ઠને સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ કહે છે.
1. બિંદુવતું (એ કલ) વિદ્યુતભાર q થી r અંતરે મળતું સ્થિતિમાન V = \(\frac{k q}{r}\) છે.
∴ V∝ \(\frac{1}{r}\)
જે r સમાન હોય તેવાં બિંદુઓએ મળતું સ્થિતિમાન (V) સમાન હોય છે તેથી આવા બિંદુઓમાંથી પસાર થતું પૃષ્ઠ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ગોળાકાર મળે છે, જેની ત્રિજ્યા r છે અને કેન્દ્ર પર q વિદ્યુતભાર છે. એટલે કે, એકલ વિદ્યુતભારના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો, વિદ્યુતભાર પર કેન્દ્ર ધરાવતી ગોળાકાર સપાટીઓ છે.

બિંદુવતું વિદ્યુતભાર માટે જુદી જુદી ત્રિજયાના એક કરતાં વધારે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો દોરી શકાય છે.
બિંદુવતું વિદ્યુતભારની વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ, વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્દભવતી અથવા વિદ્યુતભારમાં અંત પામતી ત્રિજ્યાવર્તી રેખાઓ છે જે વિધુતભારે ધન છે કે ઋણ તેના પર આધાર રાખે છે જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ક્ષેત્ર રેખા દરેક બિંદુએ તે બિંદુમાંથી પસાર થતાં સમસ્થિતિમાને પૃષ્ઠને લંબ છે.
2. વિદ્યુત ડાયષલ માટે સમસ્થિતિમાને પૃથ્વી આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે છે.

3. બે સમાન થન કે વિદ્યુતભારો પાસપાસે અલગ મૂકેલાં હોય તો તેના માટેના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો આકૃતિમાં બતાવ્યા છે.

4. ધારો કે, સમાન વિધુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}} \) x-અલની દિશામાં છે તેથી સંમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો x-અમને લંબ છે એટલે yzસમતલને સમાંતર સમતલો છે. જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે,

પ્રશ્ન 18.
કોઈ પણ બિંદુમાંથી પસાર થતું સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ તે બિંદુએ વિધુતક્ષેત્રને લંબ છે તેમ બતાવો.
ઉત્તર:

• જે વિદ્યુતક્ષેત્ર, સંમસ્થિતિમાન સપાટીને લંબ ન હોય તો વિદ્યુતક્ષેત્રનો પૃષ્ઠને સમાંતર અશૂન્ય ઘટક હોત,
• એશૂન્ય ઘટક હોત તો એ કમ પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકની વિરુદ્ધમાં ગતિ કરાવવા કાર્ય કરવું પડ્યું હોત.
• પરંતુ, આ વિધાન એ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠની વ્યાખ્યાની વિરુદ્ધ છે, કારણ કે, સંમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર કોઈ બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત ΔV શૂન્ય હોય છે,
  ∴ કાર્ય W = qΔV માં ΔV = 0 તો W = 0
• અને વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) માં \(\overrightarrow{d l}\) તો જેટલું સ્થાનાંતર થતાં થતું કાર્ય,
  W = \(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{d l}\) = Edlcosθ
  0 = Edlcosθ
  ∴ 0 = cosθ [∵ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) ≠ 0, \(\overrightarrow{d l}\) ≠ 0]
  ∴ θ = \(\frac{\pi}{2}\)
• આથી, વિદ્યુતક્ષેત્ર સમરિસ્થતિમાન પૃષ્ઠ પરના દરેક બિંદુએ લંબ જ હોવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 19.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠની અગત્યતા જણાવો.
ઉત્તર:

1. અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) ની દિશા અને મૂલ્ય એમ બંને બળરેખાઓ પરથી સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠનું દેખાય તેવું ચિત્ર આપે છે, – જો સમાન ગાળામાં સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો આવેલાં હોય, તો વિધુતક્ષેત્ર સમાન અને આ પૃષ્ઠો નજીક નજીક હોય તો વિધુતક્ષેત્ર પ્રબળ અને દૂર દૂર હોય તો વિદ્યુતક્ષેત્ર નિર્બળ ગણાય છે.
2. સપસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર કોઈ પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર ગતિ કરે ત્યારે કાર્ય થતું નથી.
3. સપસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના દરેક બિંદુએ સ્થાનિક રીતે વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશાં લંબરૂપે હોય છે.
4. બે સમસ્થિતિમાન પહો કદી એમ્બીજને છેતી નથી.

પ્રશ્ન 20.
વિધુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર એકબીજથી ખૂબ નજીક બે સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ A અને B છે જેમના પર સ્થિતિમાનનાં મૂલ્યો અનુક્રમે V અને V + δV છે. જયાં δV એ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં V નો ફેરફાર છે,

સપાટી B પર બિંદુ P છે, જેનું સપાટી A થી લંબઅંતર δl છે.
એ કેમ ધન વિધુતભારને સપાટી B થી સપાટી A સુધી વિધુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધમાં સપાટીઓને લંબરૂપે δl જેટલું અંતર કાપતાં કરેલું કાર્ય |\(\overrightarrow{\mathrm{E}}\)|δl છે. પણ કાર્ય W = V_A – V_B
∴ |\(\overrightarrow{\mathrm{E}}\)|δl = V – (V + δV)
∴|\(\overrightarrow{\mathrm{E}}\)|δl = – δV
∴|\(\overrightarrow{\mathrm{E}}\)|δl = \(-\frac{\delta \mathrm{V}}{\delta l}\)
∴ |\(\overrightarrow{\mathrm{E}}\)| = \(\frac{|\delta \mathrm{V}|}{\delta l}\)
∴ E = \(\frac{\mathrm{V}}{l}\)

આમ, વિદ્યુત સ્થિતિમાન પ્રચલનનું ઋણ મૂલ્ય એ વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્ય જેટલું હોય છે. \(\frac{\delta \mathrm{V}}{\delta l}\) વિદ્યુત સ્થિતિમાન પ્રચલન કહે છે. તેનો એકમ Vm^-1 છે.
આ સંબંધ પરથી બે મહત્ત્વના નિષ્કર્ષો મળે છે, જે નીચે મુજબ છે :
(1) જે દિશામાં અંતર સાથે સ્થિતિમાનનો ઘટાડો સૌથી ઝડપી થતો હોય તે દિશામાં વિધુતક્ષેત્ર હોય છે.
(2) વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય, તે બિંદુ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબ દિશામાં બે કમ સ્થાનાંતર દીઠ સ્થિતિમાનના ફેરફારના મૂલ્ય જેટલું છે.

પ્રશ્ન 21.
બે વિધુતભારોના તંત્રની સ્થિતિનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, શરૂઆતમાં q₁ અને q₂ વિદ્યુતભારો અનંત અંતરે છે. તેમાંના q₁ વિદ્યુતભારને ઊગમબિંદુની સાપેક્ષે r₁ અંતરે લાવતાં કરવું પડતું કાર્ય શૂન્ય છે. કારણ કે, q₁ ની ગતિની વિરુદ્ધમાં કાર્ય કરવું પડે તેવું કોઈ બાહ્ય ક્ષેત્ર હાજર નથી.

∴W₁ = 0 ……………………. (1)
આ q₁ વિદ્યુતભારનું અવકાશમાં સ્થિતિમાન,
V₁ = \(\frac{k q_1}{r_{1 p}}\)
જયાં r_1P = અવકાશમાંના કોઈ બિંદુ Pનું q₁ ના સ્થાનથી અંતર છે.
હવે q₁ ના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં અનંત અંતરેથી q₂ વિદ્યુતભારને r₂ અંતરે આવેલા બિંદુએ લાવવા માટે બાહ્ય બળે કરેલું કાર્ય,
W₂ = q₂V₁
∴ W₂ = \(\frac{k q_1 q_2}{r_{12}}\) ………………………… (2)

જ્યાં r₁₂ =r₁ અને r₂ અંતરે આવેલાં બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે.
સ્થિતવિધુતબળ એ સંરક્ષી બળ હોવાથી આ કાર્ય તંત્રની સ્થિતિઊર્જા રૂપે સંગ્રહ પામે છે.
બે વિદ્યુતભારો q₁ અને q₂ ના તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જા,
U = W₁ + W₂,
∴ U = \(\frac{k q_1 q_2}{r_{12}}\) ……………………………….. (2)

આમ, બે વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા તેમના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. જો પ્રથમ q₂ ને લાવીએ અને પછી q₁ ને લાવીએ તો પણ સ્થિતિઊર્જા સમીકર(2) જેટલી જ મળે છે.
વ્યાપક રીતે વિદ્યુતભારોને ગમે તે રીતે પોતાના નિશ્ચિત સ્થાનો પર લાવવામાં આવે તો પણ સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર બદલાતું નથી. કારણ કે સ્થિત વિધુતબળ સંરક્ષી છે તેથી થતું કાર્ય એ માર્ગ પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 22.
ત્રણ વિધુતભારોના તંત્રની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, q₁,q₂ અને q₃ વિધુતભારોને અંનત અંતરેથી અનુક્રમે r₁,r₂ અને r₃ અંતરે આવેલાં બિંદુઓ અનુક્રમે P₁,P₂ અને P₃ પર લાવવા છે. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રણેય વિધુતભારોને લાવવા છે.

પ્રથમ q₁ વિધુતભારને P₁ સ્થાને લાવતાં કરવું પડતું કાર્ય, W₁ = 0 ………………………….. (1)
કારણ કે, q₁ ને P₁ સ્થાને લાવતાં કોઈ બાહ્ય બળ નથી.
q₂ ના લીધે P₂ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
V₁ = \(\frac{k q_1}{r_{12}} \) …………………………….. (2)
હવે q₂ વિદ્યુતભારને P₂ સ્થાને લાવવા કરવું પડતું કાર્ય,
W₂ = V₁ x q₂
∴ W₂ = \(\frac{k q_1 q_2}{r_{12}}\) ………………………. (3)
સમીકરણ (3) એ q₁ અને q₂ ના કોઈ પણ ચિહ્ન માટે સાચું છે. જો q₁q₂> 0 હોય તો સ્થિતિઊર્જા ધન મળે છે અને જે q₁q₂ < 0 હોય તો સ્થિતિઊર્જા ઋણ મળે છે.
q₁ + q₂ વિદ્યુતભારને લીધે P₃ સ્થાને વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
V₂ = \(\frac{k q_1}{r_{13}}+\frac{k q_2}{r_{23}}\)
∴ q₃ વિદ્યુતભારને P₃ સ્થાને લાવવા કરવું પડતું કાર્ય,

W₃ = q₁+q₂ ના લીધે P₃ પાસે સ્થિતિમાન x q₃ વિદ્યુતભાર,
= k \(\left[\frac{q_1}{r_{13}}+\frac{q_2}{r_{23}}\right] \times q_3\)
= K \(\left[\frac{q_1 q_3}{r_{13}}+\frac{q_2 q_3}{r_{23}}\right]\) ………………….. (4)
∴ q₁ + q₂ + q₃ વિદ્યુતભારોની કુલ સ્થિતિ ઊર્જા,

U =W₁ + W₂+ W₃
[∵ વિદ્યુતબળ સંરક્ષી બળ છે તેથી W = U].
∴ U = k \(\left[0+\frac{q_1 q_2}{r_{12}}+\frac{q_1 q_3}{r_{13}}+\frac{q_2 q_3}{r_{23}}\right]\)
∴ U = K \( \left[\frac{q_1 q_2}{r_{12}}+\frac{q_1 q_3}{r_{13}}+\frac{q_2 q_3}{r_{23}}\right]\) ……………………. (5)
ત્રણ વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જાનું સમીકરણ (5) દ્વારા મળે છે.

પ્રશ્ન 23.
એલ વિધુતભારના લીધે બાહ્ય ક્ષેત્રમાં વિધુતઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:

• બાહ્ય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) અને તેને અનુરૂપ બાહ્ય સ્થિતિમાન V એ બિંદુએ બિંદુએ બદલાઈ શકે છે.
• વિદ્યુત સ્થિતિમાનની વ્યાખ્યા મુજબ, વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ એકમ ધન વિધુતભારને અનંત અંતરેથી P બિંદુએ લાવવા કરવું પડતું કાર્ય છે. (અનંત અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય ધારેલું છે.)
• આમ, વિદ્યુતભાર વ ને અનંત અંતરેથી બાહ્ય ક્ષેત્રમાંના | બિંદુએ લાવવા કરવું પડતું કાર્ય W = qV.
• આ કાર્ય q ની સ્થિતિઊર્જા રૂપે સંગ્રહ પામે છે.
  ∴ U = qV
• જો કોઈ ઊગમબિંદુની સાપેક્ષે P નો સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) હોય, તો વિદ્યુતભાર q ને બાહ્ય ક્ષેત્રમાં \(\vec{r}\) સ્થાનસદિશ ધરાવતાં બિંદુ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા, U(\(\vec{r}\)) = qV(\(\vec{r}\))
• એટલે કે, બાહ્ય ક્ષેત્રમાં સ્થિતિઊ = વિધુતભાર × બાહ્ય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન

પ્રશ્ન 24.
ઇલેક્ટ્રૉન વોટની વ્યાખ્યા આપો અને તેને જૂલ એકમમાં દર્શાવો.
ઉત્તર:
જો q = e = 1.6 x 10^-19C વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રૉનને 1 વોલ્ટના વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવતમાંથી પ્રવેગિત કરવામાં આવે, તો તેણે પ્રાપ્ત કરેલી ઊર્જા= qΔV
= 1.6 x 10^-19 x 1
[∵ ΔV = 1V]
= 1.6 x 10^-19]

• ઊર્જાના આ એકમને 1 ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ અથવા ટૂંકમાં 1eV કહે છે
• વ્યાખ્યા : “1 વોલ્ટના વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળથી પસાર થતાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા (અથવા ગતિઊર્જા) માં થતાં ફેરફારને એક ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ કહે છે.”
• સામાન્ય રીતે પરમાણુ અને ન્યુક્લિયર ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં આ એકમનો વધુ પ્રમાણમાં ઉપયોગ થાય છે.

eV ના ગુણક અને ઉપગુણ :
1 meV = 1.6 x 10^-22 J
1 keV = 1.6 x 10^-16J
1 MeV = 1.6 x 10^-13J
1 GeV = 1.6 x 10^-10J
1 TeV = 1.6 x 10^-7J

પ્રશ્ન 25.
બાહ્ય ક્ષેત્રમાં એકબીજાથી r અંતરે રહેલાં બે વિધુતભારોના તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં બાહ્ય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) માં કોઈ ઊગમબિંદુની સાપેક્ષે r₁ અને r₂ સ્થાનોએ બે વિદ્યુતભાર છે, અને ને અનંત અંતરેથી લાવવા છે..

પ્રથમ q₁ વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી , અંતરે લાવવા કરવું -પડતું કાર્ય,
W₁ = q₁V\(\left(\overrightarrow{r_1}\right) \) ……………………………. (1)
અને q₂ વિધુતભારને અનંત અંતરેથી r₂ અંતરે, સ્ત્રોત વિદ્યુતભાર અને q₁વિદ્યુતભારથી મળતા શેત્રની વિરુદ્ધ ગતિ કરાવવા કરવું પડતું કાર્ય,
W₂ = q₂V \(\left(\overrightarrow{r_2}\right)\) …………………………… (2)
q₁ વિદ્યુતભારના વિરુદ્ધમાં લાગતાં બળથી q₂ પર થતું કાર્ય, W₃ = \(\frac{k q_1 q_2}{r_{12}}\) ………………….. (3)
જયાં r₁₂ = q₁ અને q₂ વચ્ચેનું અંતર તંત્રની કુલ સ્થિતિઊર્જ = વિધુતભારોના તંત્રની ગોઠવણ કરવા કરવું પડતું કુલ કાર્ય અથવા સ્થિતિઊર્જા,
U = \( q_1 \mathrm{~V}\left(\overrightarrow{r_1}\right)+q_2 \mathrm{~V}\left(\overrightarrow{r_2}\right)+\frac{k q_1 q_2}{r_{12}}\)

પ્રશ્ન 26.
નિયમિત બાહા વિધુતક્ષેત્રમાં મૂકેલી ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં – q અને +q વિધુતભારવાળી ડાયપોલને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) માં મૂકેલી છે. ડાયપોલની લંબાઈ ‘2a’ છે,

વિધુતક્ષેત્ર સાથે ડાયપોલ મોમેન્ટ θ ખૂક્ષ બનાવે તે રીતે મૂકેલી છે.
-q અને + q વિદ્યુતભારો ૫૨ + q\(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) અને – q\(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) જેટલા સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં બળો લાગે છે. આ ડાયપોલ પર લાગતાં બળો બળયુગ્મ રચે છે. તેથી ડાયપોલ ટૉર્ક અનુભવે છે.
τ = \(\vec{p} \times \overrightarrow{\mathrm{E}} \quad \text { જ्यां } \vec{p}=(2 \vec{a}) q\)
\(\vec{p}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) ને સમાંતર કે પ્રતિસમાંતર સિવાયની સ્થિતિમાં ટૉર્ક,

ડાયપોલને ભ્રમણ કરાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે. ડાયપોલ પર ટોર્ક લાગતાં ધારો કે ડાયપોલ સૂકમ ખૂણા Δθ = θ₁ – θ₀ જેટલું ભ્રમણ કરે છે. તેથી થતું સૂક્ષ્મ કાર્ય, ΔW = τΔθ = pEsinθdθ
θ₀ થી θ₁ જેટલા ભ્રમણ દરમિયાન થતું કુલ કાર્ય,
W = \(\int_{\theta_0}^{\theta_1} p \mathrm{E} \sin \theta d \theta\)
= pE[-cosθ]_θ0^θ1
∴ W = PE[cosθ₀ – cosθ₁]
આ કાર્ય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા રૂપે સંગ્રહ પામે છે.
∴ ડાયપોલની સ્થિતિ U = pE[cosθ₀ – cosθ₁]

જે શરૂઆતમાં ડાયપોલ θ₀ = \(\frac{\pi}{2}\)
ખૂણે મૂકેલી હોય અને તે સ્થિતિમાંથી તેને θ₁ = θ કોલ્સ બનાવે તેમ ભ્રમણ આપીએ, તો ડાયપોલની સ્થિતિ,
U = pE [\(\cos \frac{\pi}{2}-\cos \theta\) ]
= pE[0-cosθ]
∴ U = – pEcosθ
∴ U = – \((\vec{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{E}})\)

પ્રશ્ન 27.
સમાન વિધુતક્ષેત્રમાં મૂક્ત ડાયપોલની સ્થાયી સમતોલન, અસ્થાયી સમતોલન જાને મહત્તમ સમતોલનની સ્થિતિ સમજાવો.
ઉત્તર:
સમાન વિધુતક્ષેત્રમાં મૂકેલ ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા,
U = \(-\vec{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{E}}\) = – pEcosθ
જયાં \(\vec{p}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ છે.
(i) જો \(\vec{p} \| \overrightarrow{\mathrm{E}}\) ⇒ θ = 0°
∴U =-pE જે ડાયપોલની સ્થાયી સમતોલન સ્થિતિ છે.

(ii) જો \(\vec{p} \|(-\overrightarrow{\mathrm{E}})\) ⇒θ = 180°
∴ U = -pE જે સ્થિતિ ઊર્જાનું મહત્તમ મૂલ્ય છે.
આ ડાયપોલની અસ્થાયી સમતોલન સ્થિતિ દર્શાવે છે.

(iii) જે \(\vec{p} \perp \overrightarrow{\mathrm{E}}\) ⇒ θ = 90°
∴ U = ‘0
જે વયપોલની મહત્તમ અસમતોલન સ્થિતિ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 28.
બે વિધુતભારોના તંત્રની સ્થિતિના મૂળ પસ્થી બાહ્ય યોગમાં ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જાનું વૈકલ્પિક રીતે સૂગ મેળવો.
ઉત્તર:
બે ધન વિધુતભારોના તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જાનું સૂત્ર,
U'(θ) = \(q_1 \mathrm{~V}\left(\overrightarrow{r_1}\right)+q_2 \mathrm{~V}\left(\overrightarrow{r_2}\right)+\frac{k q_1 q_2}{r_{12}} \) છે.
ડાયપોલ માટે q₁= + q અને q₂ = – q અને તેમનાં સ્થાનસદિશો \(\overrightarrow{r_1}\) અને \( \overrightarrow{r_2}\) છે.
∴ U'(θ) = \(q\left[\mathrm{~V}\left(\overrightarrow{r_1}\right)-\mathrm{V}\left(\overrightarrow{r_2}\right)\right]-\frac{k q_1 q_2}{r_{12}}\) …………………………. (1)
\(\overrightarrow{r_1}\) અને \(\overrightarrow{r_2} \) સ્થાનો વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત = એકમ

ધન વિદ્યુતભારને ક્ષેત્રની વિરુદ્ધમાં કે થી સુધી લાવવા માટે કરવા પડતાં કાર્ય બરાબર છે પણ બળને સમાંતર સ્થાનાંતર 2acosθ છે.
∴ \(\mathrm{V}\left(\overrightarrow{r_1}\right)-\mathrm{V}\left(\overrightarrow{r_2}\right)\) =-E ×2acosθ [∴ W = Fd]
= – pEcose [∵p = q(2a) = 2a]
∴ U'(θ) = -pEcosθ – \(\frac{k q^2}{2 a}\) અને q = 1C
∴ U'(θ) = \(-(\vec{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{E}})-\frac{k q^2}{2 a} \) ………………… (2)

વયપોલ U(θ) અને U(θ’)માત્ર એક અચળાંક જેટલું જુદું પડે છે.
+q અને – q ને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધમાં લાવવા માટેનું કાર્ય સમાન અને વિરુદ્ધ છે તેથી નાબૂદ થાય.
જે θ₀ = \(\frac{\pi}{2}\) લઈએ તેથી \( q\left[\mathrm{~V}\left(\overrightarrow{r_1}\right)-\mathrm{V}\left(\overrightarrow{r_2}\right)\right]=0\) થાય.
જે સમીકરણ (2) ના બીજા પદને અવગણીએ તો,
U'(θ) = –\((\vec{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{E}})\) મળે જે U = \((\vec{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{E}}) \) જેવું છે.

પ્રશ્ન 29.
ધાતુઓમાં સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્ર સમજાવો. બાલ વિધુતક્ષેત્રમાં ધાતુઓને મૂકતાં થતી અસર સમજાવો.
ઉત્તર:

• ધાત્વિક સુવાહકમાં ગતિશીલ વિદ્યુતભાર વાહકો તરીકે ઇલેક્ટ્રોન છે.
• ધાતુઓ બને છે ત્યારે તેમના પરમાણુઓની છેલ્લી કક્ષામાં રહેલા વેલેન્સ ઇલે કટ્રોનને કોઈક રીતે ઊર્જા મળતાં પરમાણુઓથી છૂટા પડી જાય છે જે ગતિ કરવા મુક્ત હોય છે, જેને મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન કહે છે.
• મુક્ત ઇલેકટ્રોન માત્ર પિતૃ-પરમાત્રુઓમાંથી મુક્ત થાય છે પણ ધાતુઓથી મુક્ત થતાં નથી. તેથી ધાતુમાં ઇલેક્ટ્રોન વાયુ જેવી રચના થાય છે.
• મુક્ત થયેલા ઇલેક્ટ્રૉન જુદી જુદી દિશાઓમાં અસ્તવ્યસ્ત (અયોજિત) ગતિ કરે છે અને એકબીજા ઇલેક્ટ્રૉન અને આયનો સાથે અથડાય છે.
• ધાતુઓને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકતાં ઇલેક્ટ્રૉન પર વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લાગવાથી ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં
• સ્થાનાંતર કરીને વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ધાતુની સપાટી પર જમા થાય છે અને ધન વિદ્યુતભારો વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં
• ધાતુની સપાટી પર જમા થાય છે. જે આપેલ આકૃતિમાં બતાવ્યું છે.

• ધાતુની સપાટી પર ધન અને ઋણ વિધુતભારો જમા થવાથી બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે.
• જ્યારે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર અને અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન મૂલ્યનું થાય ત્યાર સપાટી પર જમા થવાનું બંધ થઈ જાય છે.

પ્રશ્ન 30.
સ્થિત વિધુતશાસ્ત્રને લગતાં સુવાહકોના અગત્યના પરિણામો લખો.
ઉત્તર:
આ માટે નીચે મુજબના પરિણામો મળે છે :

1. સુવાહકની અંદરના ભાગમાં સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
2. વિદ્યુતભારિત સુવાહકની સપાટી પર સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર, સપાટીને દરેક બિંદુએ લંબ હોય છે.
3. સ્થાયી સ્થિતિમાં સુવાકના અંદરના ભાગમાં વધારાનો વિદ્યુતભાર હોઈ શકે નહીં.
4. સુવાહકના સમગ્ર કદમાં સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને અંદરના ભાગમાં તેનું મૂલ્ય સપાટી પરના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે.
5. વિદ્યુતભારિત સુવાહકની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર
   \(\overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot \hat{n} \) છે.
   જ્યાં σ = વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠઘનતા
6. ε₀ = શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
   n̂ = સપાટી પર બહારની તરફનો લંબ એકમ સદિશ છે.
7. કોઈ પણ સુવાહકની બખોલની અંદરના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે, એટલે કે, ઇલેક્ટ્રૉસ્ટેટિક શિગિ થાય છે.

પ્રશ્ન 31.
સુવાહકની અંદરના ભાગમાં સ્થિત વિધુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.તે સમજાવો.
ઉત્તર:

• જયારે સુવાહકની સ્થાયી સ્થિતિમાં તેની અંદરના ભાગમાં કે તેની સપાટી પર કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ ન હોય ત્યારે સુવાકની અંદરના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
• સુવાહકમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રૉન હોય છે. સુવાહકને વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂવાથી મુક્ત ઈલેક્ટ્રૉન (વિદ્યુતભાર) બળ અનુભવે છે અને ઘસડાય છે,
• સ્થાયી સ્થિતિમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રૉન અને ધન આયનો) વિધુતભા૨, સુવાહકમાં એવી રીતે વહેંચાય છે કે જેથી સુવાહકની અંદર બધે વિદ્યુતભારો હોતાં નથી તેથી સુવાહકની અંદર સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

પ્રશ્ન 32.
વિધુતભારિત સુવાહકની સપાટી પર સ્થિત વિધુતક્ષેત્ર સપાટીને દરેક બિંદુએ લંબ હોય છે.
ઉત્તર:
જો સપાટીને લંબરૂપે વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) ન હોય તો સપાટીને સમાંતર વિદ્યુતક્ષેત્રનો ઘટક અશૂન્ય હોય તેથી સપાટી પરના મુક્ત વિદ્યુતભારો કંઈક બળ અનુભવે તેથી ગતિ કરવા લાગે. તેથી સુવાહક સ્થાયી સ્થિતિમાં ન રહે,
આથી, સ્થાયી સ્થિતિમાં વિધુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) નો કોઈ સ્પર્શીય ઘટક (સપાટીને સમાંતર ઘટક) ન હોવો જોઈએ.
તેથી વિદ્યુતભારિત સુવાહકની સપાટી પર સ્થિતવિદ્યુતક્ષેત્ર સપાટીને દરેક બિંદુએ લંબ હોવું જ જોઈએ જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

(જે સુવાહક માટે વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠધનતા શૂન્ય હોય તો તેની
સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.) [∵ 0 = \(\frac{\sigma}{\epsilon_0}\) ]

પ્રશ્ન 33.
સ્થાયી સ્થિતિમાં સુવાહકના અંદરના ભાગમાં વધારાનો વિધુતભાર હોઈ શકે નહીં. સમજાવો.
ઉત્તર:
કોઈ તટસ્થ સુવાહકના દરેક નાના પૃષ્ઠ ખંડ કે કદ ખંડમાં સમાન જથ્થાના ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારો હોય છે.
જયારે સુવાહકને વિદ્યુતભારિત કરવામાં આવે છે ત્યારે સ્થાયી સ્થિતિમાં વધારાનો વિદ્યુતભારે માત્ર સપાટી પર જ રહી શકે છે અને તેમાં પ્રવાહ વહેતો નથી.
સુવાહકની બહારની સપાટીની નજીક અંદર એક ગૉસિયન પૃષ્ઠ વિચારો.
સુવાહકની અંદર બધા બિંદુઓ એ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 0 હોવાથી \(\phi_{\mathrm{E}}=\oint \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}} \) પરથી Φ_E = 0 થવું જોઈએ.
ગસના પ્રમેય પરથી,
Φ_E= \(\frac{q}{\varepsilon_0}\) માં Φ_E = 0
∴ q = 0.
આમ, સ્થાયી સ્થિતિમાં સુવાહકની અંદર વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય છે અને વધારાનો વિદ્યુતભાર તેની સપાટી પર જ રહે છે.

પ્રશ્ન 34.
સુવાહકના સમગ્ર કદમાં સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને અંદરના ભાગમાં તેનું મૂલ્ય સપાટી પસ્તા મૂળ જેટલું જ હોય છે તેમ બતાવો.
ઉત્તર:
સુવાહકની અંદરના ભાગમાં \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 0 હોવાથી અને સપાટી પર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) નો કોઈ સ્પર્શીય ઘટક ન હોવાથી નાના પરીક્ષણ વિદ્યુતભારોને સુવાકની અંદરના ભાગમાં અને સપાટી પર ગતિ કરાવવા માટે કોઈ કાર્ય કરવું પડતું નથી.
એટલે કે સુવાહકની અંદરના કે સપાટી પરના કોઈ પણ બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત નથી તેથી સપાટી પર અંદર વિધુતભારને ગતિ કરાવવા કોઈ કાર્ય કરવું પડતું નથી.
જે સુવાહક વિદ્યુતભારિત હોય તો વિદ્યુતક્ષેત્ર સપાટીને લંબરૂપે હોય છે એટલે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન અને સપાટીની તરત બહારના બિંદુનું સ્થિતિમાન જુદું છે.
પાદચ્છિક પરિમાણ, આકાર અને વિદ્યુતભાર-વિતરણ ધરાવતા સુવાહકોના તંત્રમાં દરેક સુવાહકને લાક્ષણિક અચળ મૂલ્યનું સ્થિતિમાન હોય છે, પરંતુ આ અચળાંક જુદા જુદા સુવાહકો માટે જુદો જુદો હોઈ શકે છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

પ્રશ્ન 35.
વિધુતભારિત સુવાહકની સપાટી પર વિધુતક્ષેત્રનું સૂત્ર મેળવો.

ઉત્તર:
આકૃતિમાં વિદ્યુતભારિત વાહકનું પૃષ્ઠ બતાવેલ છે, તેની વિધુતભાર પૃષ્ઠ ઘનતા σ છે.
સુવાહકની સપાટી પર Pill box તરીકે ઓળખાતી નાના નળાકાર જેવી રચના ગોસિયન પૃષ્ઠ તરીકે વિચારો કે જેનો અડધો ભાગ વાહકની બહાર અને બાકીનો અડધો ભાગ વાહકની અંદર રહે.
સુવાહકમાં અંદર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) =0 છે. આથી સુવાહકમાં રહેલા Pill box ના અડધા ભાગ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ શૂન્ય થશે.
જો પિલ-બોક્સના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ds હોય તો, તેની બંધ સપાટી વડે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર,
q = σds ………………….. (1)
વાહકના દરેક બિંદુએ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) પૃષ્ઠખંડને લંબ છે તેથી,
\(\overrightarrow{\mathrm{E}} \| d \vec{s}\) થશે.
પૃષ્ઠની અંદર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 0 છે આથી સુવાહકમાં રહેલા નળાકાર પૃષ્ઠના અડધા ભાગ સાથે સંકળાયેલું ફુલક્સ શૂન્ય થશે.
પૃષ્ઠની બહારના પિલ-બૉકસના આડછેદમાંથી બહાર આવતું ફુલક્સ, Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = Edscos0° = Eds

ગૌસના પ્રમેય પરથી, Φ= Eds
∴ \(\frac{q}{\varepsilon_0} \) = Eds
∴ \( \frac{\sigma d s}{\varepsilon_0}\) = Eds
∴ E = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)
સદિશ સ્વરૂપ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot \hat{n}\)
જો σ ધન હોય તો, \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) પૃષ્ઠમાંથી બહારની તરફ લંબ હોય અને
જો σ ઋણ હોય તો, \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) પુષ્ઠની અંદર તરફ લંબ હોય છે.

પ્રશ્ન 36.
જરૂરી આકૃતિ દોરીને સ્થિતવિધુત શિલ્ડિંગ સમજાવો.
અથવા
વિધુતક્ષેત્રમાં બખોલવાળા વાહકને મૂકતાં, બખોલમાં વિધુતોત્ર શૂન્ય હોય છે તે સમજાવો.

ઉત્તર:

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસારની બખોલ ધરાવતો સુવાહક છે.
• બખોલની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી.
• બખોલનું પરિમાણ કે આકાર ગમે તે હોઈ શકે.
• બખોલવાળા સુવાહકને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકીએ તો પક્ષ બખોલમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
• જે સુવાહકને વિદ્યુતભારિત કરવામાં આવે અથવા બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર વડે તટસ્થ સુવાહક પર વિદ્યુતભારને પ્રેરિત કરવામાં આવે, તો પણ બધા વિદ્યુતભારો બખોલ ધરાવતા સુવાહકની બાહ્ય સપાટી પર જ રહે છે.
• સુવાહકની અંદરની બખોલ બહારની વિદ્યુત અસરોથી હંમેશાં શિડ (સુરક્ષિત રહે છે જેને સ્થિત વિદ્યુત શિટિંગ કહે છે.
• ઉદાહરણ : આપણે કારમાં બેઠા હોઈએ અને બહારથી વિદ્યુતનો જીવંત તાર કે આકાશમાંની વીજળી કાર સાથે સંપર્કમાં આવે, તો કારના બારણા જો બંધ હોય તો કારની બખોલમાં વિદ્યુતથી રક્ષણ મળે છે.

પ્રશ્ન 37.
બાહા વિધુતક્ષેત્રમાં સુવાહક અને ડાયઇલેક્ટ્રિકની વર્તણૂકનો તફાવત સમજાવો.
ઉત્તર:

• સુવાણકમાં વિધુતભારે વાહકો હોય છે.
• સુવાહકોને બાહ્ય વિધુતક્ષેત્રમાં મૂકતાં તેમાં વિદ્યુતભાર વિતરણ એવી રીતે થાય છે કે, જેથી પ્રેરિત વિદ્યુતભારોના લીધે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર, બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે અને સુવાહકમાં ચોનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શુન્ય બને ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારોની ગતિ થાય છે.
• સુવાહકમાં \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_0+\overrightarrow{\mathrm{E}}_{\mathrm{in}} \) = 0 હોય છે. ડાયઈલેક્ટ્રિક: “ડાયઇલેક્ટ્રિક એક એવો પદાર્થ છે કે જે તેમાંથી વિધુતભારોને પસાર થવા દેતો નથી પડ્યું તેમાં વિદ્યુતભારોને એકબીજા પર વિધુતબળ લગાડવાની છૂટ આપે છે”.
• ડાયઇલેક્ટ્રિક એ ખરેખર અવાહકો છે કે જે વિધુતભારોના મર્યાદિત સ્થાનાંતરથી મુવીભૂત થઈ શકે છે. પ્રય ઈલેક્ટ્રિકમાં વિદ્યુતભારોની ગતિ શક્ય નથી પણ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ગયઈલેક્ટ્રિકને મૂકતાં તેના અણુઓને ખેંચીને કે પુનઃગોઠવણીથી ડાયપોલ ચોકમાત્રા પ્રેરિત થાય છે.
• બધી આણિવક ડાયપોલ ચોકમાત્રાની સામૂહિક અસર ડાયઇલેક્ટ્રિકની સપાટી પર ચોખા વિદ્યુતભારરૂપે જણાય છે.
  આ વિદ્યુતભારો બાહ્ય ક્ષેત્રનો વિરોધ કરતું ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે તેથી બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ઘટે છે પણ શૂન્ય થતું નથી,
  ∴ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_0+\overrightarrow{\mathrm{E}}_{\mathrm{in}} \) ≠ 0
  આ અસરનું પ્રમાણ ડાયઈલેક્ટ્રિકના પ્રકાર પર આધારિત છે.
• બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સુવાહક અને અવાઈકની વર્તણૂક માટેની આકૃતિઓ નીચે છે. \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) =0

પ્રશ્ન 38.
ડાયઇલેકિટ્રકના પ્રકારો લખીને સમજાવો અને દરેકના ઉદાહરણ આપો.
ઉત્તર:
દ્રવ્યના અણુઓ ધ્રુવીય કે અમુવીય હોઈ શકે છે તેથી ડાયઇલેક્ટ્રિકના બે પ્રકાર છે.

1. કુવીય (Polar)
2. અધુવીય (Non-Polar)

1.ધ્રુવીય અણુ : જે ડાયઇલેકિટ્રકમાં ધન અને ઋણ વિધુતભારોના કેન્દ્રો એક જ બિંદુ પર સંપાત થયેલાં ન હોય તેવાં અણને ધ્રુવીય અણુ કહે છે.
કુવીય અણુઓને કાયમી ડાયપોલ ચોકમાત્રા (મૌર્મેન્ટ) હોય છે.
દા.ત : H₂0, HCl ના અણુઓ.
નીચે આ કૃતિમાં ધ્રુવીય અશુઓ દર્શાવ્યા છે.

2. અધુવીય અણુ : જે ડાયઇલેક્ટ્રિકમાં ધન વિધુતભારનું કેન્દ્ર અને ત્રણ વિદ્યુતભારનું કેન્દ્ર એકબીજા પર સંપાત થયેલાં હોય તેવાં અણુને અધ્રુવીય અણુ કહે છે.
અદ્ભવીય અશ્રુઓ કાયમી ડાયપોલ ચાકમાત્રા ધરાવતા નથી. દા.ત. : O₂, H₂ ના અજુઓ.
નીચે આકૃતિમાં અમુવીય અણુઓ દર્શાવ્યા છે.

પ્રશ્ન 39.
સમાન વિધુતક્ષેત્રમાં અઘુવીય અણુનું ધ્રુવીભવન સમજાવો અને રેખીય સમદિગ્ધર્મી ડાયઇલેક્ટ્રિકની વ્યાખ્યા લખો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં અધ્રુવીય અશ્રુઓના ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં સ્થાનાંતર પામે છે.

• જયારે અણુ ઓના ઘટક વિદ્યુતભારો પરનું બાહ્ય બળ, પુનઃસ્થાપક બળ જિ અણુની અંદરના આંતરિક ક્ષેત્રને લીધે લાગતાં) વડે સંતુલિત થાય છે ત્યારે સ્થાનાંતર અટકી જાય છે. આમ, અપ્રુવીય અણુઓમાં પ્રેરિત ડાયપોલ ચોકમાત્રા ઉદ્ભવે છે, જેને બાહ્ય ક્ષેત્ર વડે ડાયઇલેક્ટ્રિક ધ્રુવીભૂત થયો કહેવાય.
• રેખીય સમદિગ્ધર્મી ડાયઇલેક્ટ્રિક: “બાહ્ય ક્ષેત્રમાં મૂકેલાં અધ્રુવીય અણુમાં જ્યારે પ્રેરિત ડાયપોલ ચોકમાત્રા વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં હોય અને ક્ષેત્રની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય તો તેને રેખીય સમદિધર્મી ડાયઇલેક્ટ્રિક કહે છે.”
• બાહ્ય કોની હાજરીમાં જુદા જુદા અણુઓની ડાયપોલ ચકમાત્રાઓનો સરવાળો કરવાથી ડાયઇલેક્ટ્રિકની ચોખ્ખી (Net) ડાયપોલ ચાકમાત્રા મળે છે.

પ્રશ્ન 40.
સમાન વિધુતક્ષેત્રમાં ઘુવીય અણુનું ધ્રુવીભવને સમજાવો.
ઉત્તર:
ધ્રુવીય અશુઓની કાયમી વ્રયપોલ ચોકમાત્રા શૂન્ય હોય છે. કારણ કે ઉમીય ગતિને લીધે વયપોલ ચોકમાત્રા અસ્તવ્યસ્ત હોય છે પણ કુલ ડાયપોલ ચાકમાત્રા શૂન્ય હોય છે,

• જયારે તેના પર બાહ્ય ક્ષેત્ર લગાડવામાં આવે છે ત્યારે વ્યક્તિગત ડાયપોલ ચાકમાત્રાઓ ક્ષેત્રને સમાંતર બનવાનો પ્રયત્ન કરે છે તેથી બધા અશુઓ માટેની ડાયપોલ ચોકમાત્રાનો સરવાળો કરતાં તે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ચોખ્ખી (Net) ડાયપોલ ચોકમાત્રા મળે છે, એટલે કે, ડાયઇલેક્ટ્રિકનું ધ્રુવીભવન થાય છે. જે ઉપર આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.
• ધ્રુવીભવનનું પ્રમાડ્ય બે પરસ્પર વિરોધી પરિબળોની સાપેક્ષ પ્રબળતા પર આધારિત છે.
• બાહ્ય ક્ષેત્રમાં ડાયપોલ સ્થિતિઊર્જા કે જે ડાયપોલ્સને ક્ષેત્રને સમાંતર ગોઠવવાનો પ્રયત્ન કરે છે. અને ઉષ્મીય ઊર્જા ઉપરાંત પ્રેરિત ડાયપોલ ચાકમાત્રા એ ક્ષેત્રને સમાંતરમાં ગોઠવાયેલા ડાયપોલને છિન્ન ભિન્ન કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
• સામાન્ય રીતે ધ્રુવીય અણુઓ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર ગોઠવાઈ જવાની અસર મહત્ત્વની છે.

પ્રશ્ન 41.
ધવીભૂત થયેલા ડાઈઇલેક્ટ્રિકના અંદરના ભાગમાં મૂળ વિધુતક્ષેત્રમાં કેવો ફેરફાર કરે છે ?
ઉત્તર:

• ધ્રુવીય કે અધુવીય અણુઓ ને બાહ્ય ક્ષત્રમાં મૂકતાં ડાયઇલેક્ટ્રિકમાં પરિણામ ચોકમાત્રા ઉત્પન્ન થાય છે.
• એકમ કદ દીઠ ડાયપોલ ચાકમાત્રાને પોલેરાઇઝેશન (ધ્રુવીભવન) કહે છે. તેને \(\overrightarrow{\mathrm{P}}\) સંજ્ઞાથી દવિાય છે.
• રેખીય સમદિગ્ધર્મી ડાયઇલેક્ટ્રિક માટે,
  \(\overrightarrow{\mathrm{P}} \propto \overrightarrow{\mathrm{E}}\)
  ∴ \(\overrightarrow{\mathrm{P}}=\chi_e \overrightarrow{\mathrm{E}}\)
• જયાં x_e = ડાયઇલેક્ટ્રિકનો લાક્ષણિક અચળાંક છે તેને ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમની વિદ્યુત સસેષ્ટિબિલિટી કહે છે.

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર લંબઘન ડાયઇલેક્ટ્રિક ચોસલાને બાહ્ય સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}_0} \) માં તેની બે બાજુઓ \(\overrightarrow{\mathrm{E}_0} \) ને સમાંતર રહે તેમ મૂકો.
• આ વિદ્યુતક્ષેત્ર, ડાયઈલેક્ટ્રિકમાં સમાન પોલેરાઇઝેશન \(\vec{P}\) ઊપજાવે છે.
• ચોસલાનો દરેક સૂક્ષ્મ કદ ખંડ ΔV માં ક્ષેત્રની દિશામાં ડાયપોલ મોમેન્ટ \(\vec{P}\)ΔV હોય છે.
• સૂથમ કદ અખંડ ΔV માં અસંખ્ય આવિક ડાયપોલ હોવાથી કદ ખંડ ΔV ને કોઈ ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર નથી, (ડાયપોલ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય છે.) પણ ચોખ્ખી ડાયપોલ ચોકમાત્રી છે.
• કારણ કે સમઘનમાં એક ડાયપોલનો ધન વિદ્યુતભાર, બાજુની ડાયપોલના ત્રણ વિદ્યુતભારની પાસે હોય છે.
• આમ છતાં વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ એવી તેની સપાટીઓ પર ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર હોય છે તેથી ચોખ્ખી વિદ્યુતભારે ધનતા હોય છે.
  આકૃતિમાં અસમતુલિત વિદ્યુતભારો વિદ્યુતક્ષેત્રને લીધે પ્રેરિત થયેલા વિદ્યુતભારો છે.
• આમ, પ્રેરિત વિધુતભારની પૃષ્ટ ઘનતા σ_p અને – σ_p એ ડાયઈલેક્ટ્રિકની બે સપાટી પર છે.
• આ સપાટીઓ પરની વિધુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતાના લીધે ઉદ્દભવતું વિધુતક્ષેત્ર બાહ્ય વિદ્યુતત્રનો વિરોધ કરે છે. આથી, ડાયઇલેક્ટ્રિકની અંદરના વિસ્તારમાં વિધુતક્ષેત્ર E₀ ઘટી જાય છે. વિધુતભારની પૃષ્ઠ ધનતા ±σ_p એ ડાયઇલેક્ટ્રિકમાંના બંધિત વિદ્યુતભારોના લીધે ઉત્પન્ન થાય છે પન્ન નહીં કે મુક્ત વિદ્યુતભારોના લીધે.

પ્રશ્ન 42.
કેપેસિટર શું છે ? અને કેપેસિટન્સની સમજૂતી આપો અને તેનો SI એકમ જણાવો.
ઉત્તર:
કૅપેસિટર એ એકબીજાથી અલગ રાખેલા બે સુવાહકોથી બનતી રચના છે જે આકૃતિમાં બતાવેલ છે.
કેપેસિટરની વ્યાખ્યા : “એકબીજાની પાસપાસે યાદૈચ્છિક રીતે ગોઠવેલા, અલગ રાખેલાં, યાદૈચ્છિક આકાર અને કદના બે સુવાહકોથી બનતી રચનાને કૅપેસિટર કહે છે.” અથવા સંઘારક કહે છે.

ધારો કે બે સુવાક્કો પર વિદ્યુતભાર -Q અને +Q છે તથા તેમનાં સ્થિતિમાન અનુક્રમે V₁ અને V₂ છે અને તેમની વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત V = V₁ – V₂ છે.
એક સુવાહકને અનંત અંતરે ધારી લઈને બીજા એક જ સુવાહકને પણ કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય.
બે સુવાહકોને બૅટરીના બે ટર્મિનલ સાથે જોડીને વિદ્યુતભારિત કરી શકાય છે.
સુવાહક પરના વિદ્યુતભાર Q (મૂલ્ય)ને કૅપેસિટરની વિદ્યુતભાર કહે છે.
કેપેસિટર પરનો કુલ વિદ્યુતભારે તો શૂન્ય છે. કૅપેસિટરની અંદર + Q વિદ્યુતભારથી -Q વિદ્યુતભાર તરફનું વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) હોય છે જે વિદ્યુતભાર Q ના સમપ્રમાણમાં છે.
∴ E ∝ Q
પરીક્ષણ વિધુતભારને સુવાહક 2 થી સુવાહક 1 પર લઈ જતાં એકમ ધન વિધુતભાર દીઠ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કરેલું કાર્ય એટલે સ્થિતિમાનનો તફાવત V છે તેથી V પણ Q વિધુતભારના સમપ્રમાણમાં છે.
∴ V ∝ Q
આથી \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\) ગુણોત્તર અચળ રહે છે.
∴ C = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\) …………………… (1)
C ને કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ કહે છે.
કૅપેસિટન્સની વ્યાખ્યા : “આપેલા સમાંતર પ્લેટ કૅપેસિટરનો વિધુતભાર અને તેની બે પ્લેટો વચ્ચેના વિધુત સ્થિતિમાનના તફાવતના ગુણોત્તરને તે કૅપેસિટરનું કેપેસિટન્સ કહે છે.”
આમ, કેપેસિટન્સ એ વિદ્યુતભાર Q અને સ્થિતિમાનનો તફાવત V એમ બંનેથી સ્વતંત્ર છે.

આમ, પેસિટરનું કેપેસિટન્સ નીચેની બાબતો પર આધાર રાખે છે.

1. કૅપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ C એ આકાર, માપ અને બે સુવાહકો વચ્ચેના અંતર.
2. બે સુવાહકો વચ્ચે રાખેલાં ડાયઇલેક્ટ્રિકના પ્રકાર પર.
3. એક કેપેસિટરની નજીક બીજ કેપેસિટરની હાજરી.

કેપેસિટરનાં કૅપેસિટન્સનું મૂલ્ય નીચેની બાબતો પર આધાર રાખતું નથી.
1. સુવાહકોના દ્રવ્યના પ્રકાર.
2. સુવાહકો પર રહેલાં વિદ્યુતભારના જથ્થા પર.

કૅપેસિટરનો SI એકમ કે \(\frac{\text { કुલંબ }}{\text { વોલ્ટ }} \) અને તેને માઇકલ ફેરેડેની યાદમાં ફે? એકમ કહે છે.
∴ 1 ફેરે = \(\frac{1 C}{V} \)
અને પારિભાષિક સૂત્ર : [M^-1L^-2T⁴A²].
વ્યવહારમાં વપરાતાં નાના એકમો :
1 μF = 10^-6 F
1μμF = 1pF = 10^-12F
1nF = 10^-9F
નિશ્ચિત મૂલ્ય ધરાવતા કૅપેસિટરની પરિપથ સંજ્ઞા

અને ચલ મૂલ્ય ધરાવતા કેપેસિટરની પરિપથ સંજ્ઞા

પ્રશ્ન 43.
જો કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સનું મૂલ્ય મોટું હોય તો શું થાય અને બ્રેકડાઉન તથા ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થની વ્યાખ્યાઓ લખો.
ઉત્તર:

• જે કૅપેસિટરનું કૅપેસિટન્સનું મૂલ્ય મોટું હોય તો આપેલા વિદ્યુતભાર માટે સ્થિતિમાનનો તફાવત V નું મૂલ્ય નાનું મળે. [કારણ કે C = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}} \) ] આનો અર્થ એ થાય કે મોટો કૅપેસિટન્સ ધરાવતું કૅપેસિટર પ્રમાણમાં નાના સ્થિતિમાનના તફાવત માટે મોય જથ્થાનો વિધુતભારે ધારણ કરી શકે.
• જે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત મોટો હોય તો કૅપેસિટરોની સુવાહક પ્લેટોની આસપાસ પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય છે.
• પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્ર આસપાસની હવાનું આયનીકરણ કરી શકે છે. આ રીતે ઉત્પન્ન થયેલા વિદ્યુતભારો, વિરુદ્ધ રીર્ત વિદ્યુતભારિત પ્લેયે તરફ પ્રવેગિત થાય છે અને કૅપેસિટરની પ્લેટો પરના વિધુતભારને અંશતઃ તટસ્થ કરી દે છે.
• કૅપેસિટરની એક પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર અવાહક માધ્યમમાંથી પસાર થઈ (લીક થઈ)ને બીજી પ્લેટ પર પહોંચે છે તેથી કેપેસિટર નકામું બને છે,
• કૅપેસિટર પરથી વિદ્યુતભાર લીંક થવાની ઘટનાને બ્રેકડાઉન કહે છે.
• સુવાહકના પૃષ્ઠ પર જે વિધુતભારની સંખ્યા ઘણી મોટી હોય તો તે ભાગ પાસે વિધુતક્ષેત્ર પ્રબળ હોય છે. તેથી, પૃષ્ઠ પરના ઇલેક્ટ્રૉન તેમને સુવાહક સાથે જકડી રાખતા બળોનો સામનો કરીને પૃષ્ઠ પરથી છટકી જાય. આ ઘટનાને ડાયઇલેક્ટ્રિક બ્રેકડાઉન કહે છે અને તેને કોરોના ડિસ્ચાર્જ પણ કહે છે.
• ડાયઈલેકિટ્રક માધ્યમ છે કડાઉન થયા સિવાય જે મહત્તમ વિધુતક્ષેત્રનો સામનો કરી શકે તેને ડાયઈલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ કહે છે.
• હવા માટે ડાયઈલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થનું મૂલ્ય લગભગ 3 x 10⁶V/m છે અને બે સુવાહકો વચ્ચેના 1 cm ક્રમના અંતર માટે આ વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્ય માટે કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત 3 x 10⁴V છે, જે વિધુતભાર લીક થયા સિવાય કેપેસિટરની પ્લેટો પર મોયે જથ્થો ધારણ કરવા માટે કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ પૂરતું મોટું હોવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 44.
સમાંતર પ્લેટ કૅપેસિટર કોને કહે છે ? આવા કેપેસિટસ્ના કેપેસિટન્સનું સૂત્ર મેળવો અને તેના મૂલ્યનો આધાર કઈ કઈ બાબતો પર છે ? (માર્ચ – 2020)
ઉત્તર:
એકબીજાથી થોડા અંતરે રહેલી બે મોટી સમતલ સમાંતર વાહક પ્લેટોની રચનાને સમાંતર પ્લેટ કૅપેસિટર કહે છે,
આવા કેપેસિટરમાં બે સમતલો વચ્ચે કોઈક અવાહક માધ્યમ રાખવામાં આવે છે. અવાહક માધ્યમ તરીકે શૂન્યાવકાશ લઈશું.

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર 1 અને 2 વાહક પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર અનુક્રમે Q અને –Q છે તથા દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ A તથા તેમની વચ્ચેનું અંતર d છે.
પ્લેટોના રેખીય પરિમાણ કરતાં તેમની વચ્ચેનું અંતર છે ઘણું નાનું હોય છે [d² << A] તેથી અનંત સમતલથી ઉદ્દભવતાં વિદ્યુતક્ષેત્ર E = \(\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \) વાપરી શકાય.
જયાં σ = વિધુતભારની સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા અને
σ = ± \(\frac{Q}{A}\) છે.
દ₀ = શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
A = સમતલનું ક્ષેત્રફળ અને
Q = સમતલ પરનો વિધુતભાર
પ્લેટ 1 ની ઉપરના વિસ્તારમાં વિધુતક્ષેત્ર,
E = \(\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}-\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\)
∴ E = 0 …………………. (1)
પ્લેટ 2 ની નીચેના વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર,
E = \(\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}-\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\)
∴ E = 0 ………………………….. (2)

પ્લેટ (1) અને પ્લેટ (2) ની વચ્ચેના વિરતારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર,
E = \(\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\)
= \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)
∴ E = \(\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}\) ………………………….. (3)

આ વિધુતક્ષેત્ર E ની દિશા ધન પ્લેટથી ઋણે પ્લેટ તરફની છે, બે પ્લેટોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં જ આટલું વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય છે પણ પ્લેટોની સીમાઓ પાસે ક્ષેત્ર રેખાઓ બહાર તરફ વળેલી હોય છે જેને “Fringing of the field” કહે છે તેથી સીમાઓ આગળ E = \(\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}\) અનુસાર વિધુતક્ષેત્ર મળે નહીં. આમ, છતાં d²<< A માટે કિનારીથી (છેડાઓથી) પૂરતા દૂરના વિસ્તાર માટે આ અસરો અવગણી શકાય છે અને તે સ્થાને વિધુતક્ષેત્ર E = \(\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}\) પરથી મળે છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,
V = Ed .
∴ V = \(\frac{\mathrm{Q} d}{\varepsilon_0 \mathrm{~A}} \) ………………………… (4)

સમાંતર પ્લેટ કૅપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ, C = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{Qd} / \varepsilon_0 \mathrm{~A}} \)
∴ C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\) જે કેપેસિટન્સનું સૂત્ર છે.
સમાંતર પ્લેટ કૅપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ નીચેની બાબતો પર આધાર રાખે છે.
(1) પ્લેટના ક્ષેત્રફળ પર [C ∝ A]
(2) બે પ્લેયે વચ્ચેનાં અંતર પર [C ∝ \( \frac{1}{d}\) ]
(3) બે પ્લેટો વચ્ચેના માધ્યમની પરમિટિવિટી પર C ∝ દ

પ્રશ્ન 45.
વ્યવહારમાં 1F એકમ બહુ મોટો એકમ છે શાથી ?
ઉત્તર:
IF કૅરૅસિટન્સના એ કમની ગણતરી કરવા શૂન્યાવકાશવાળા માધ્યમવાળા બે કેપેસિટરોને 1 cm અંતરે રાખતાં જે પ્લેટોના સમાન ક્ષેત્રફળ A હોય, તો
C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\)
∴ A = \(\frac{\mathrm{C} d}{\varepsilon_0}\)
= \(\frac{1 \times 10^{-2}}{8.85 \times 10^{-12}}\)
= 0.11299 × 10¹⁰
∴ A ≈ 1 x 10⁹ m²
= 10 x 10⁸ m²
∴ બાજુની લંબાઈ ≈ 3 x 10⁴ m (જે પ્લેટો ચોરસ હોય)
= 30 krm
જે વ્યવહારમાં મળવી અશક્ય છે, તેથી IF એકમ બહુ મોટો છે.

પ્રશ્ન 46.
1m² ક્ષેગફળવાળી બે સમાન ધાતુની પ્લેટોને 1mm ના અંતરે મૂકીએ, તો તેનું કૅપેસિટન્સ ગણો.
ઉત્તર:
કેપેસિટન્સ,
C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\)
= \(\frac{8.85 \times 10^{-12} \times 1}{1 \times 10^{-3}}\)
∴ C = 8.85 × 10^-9 F

પ્રશ્ન 47.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરના કેપેસિટન્સ પર ડાયઇલેક્ટ્રિકની અસર સમજાવો અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંકનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
દરેક ક્ષેત્રફળ A હોય તેવી બે મોટી પ્લેટોને એકબીજાથી d અંતરે મૂકેલી છે અને પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર ±Q છે અને વિદ્યુતભાર પૃષ્ઠ ધનતા ± σ (σ = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{A}} \) સાથે) છે.

જ્યારે બે પ્લેટો વચ્ચે શૂન્યાવકાશ હોય ત્યારે તેમની વચ્ચે ઉદ્ભવતું વિધુતક્ષેત્ર,
E₀ = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)
અને વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત V₀ છે.
∴ V₀ = E₀d
જો કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ C₀ હોય તો,
C₀ = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}_0}\)
= \(\frac{\sigma \mathrm{A}}{\mathrm{E}_0 d}\) [∵ Q = σA]
C₀ = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\) ………………………….. (1) [∵ E₀ = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) ⇒ ε₀ = \(\frac{\sigma}{\mathrm{E}_0}\) ]

બે પ્લેટો વચ્ચેનો વિસ્તાર સંપૂર્ણ રીતે ડાયઈલેક્ટ્રિકથી ભરી દેવામાં આવે, તો યઇલેક્ટ્રિકનું ધ્રુવીભવન થવાથી તેની બંને પ્લેટો પર વિદ્યુતભારની પૃષ્ટ ઘનતા ±σ_p અને -σ_p, થશે.
તેથી, બે પ્લેટો વચ્ચેનું વિધુતક્ષેત્ર,
E = E₀ – E_p
∴ E = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}-\frac{\sigma_p}{\varepsilon_0}\) [∵ E_p = \(\frac{\sigma_p}{\varepsilon_0}\) ]
∴ E = \(\frac{\sigma-\sigma_p}{\varepsilon_0}\)

અને વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત,
V = Ed
= \(\frac{\sigma-\sigma_p}{\varepsilon_0} \cdot d\) …………………………. (2)
રેખીય ડાયઇલેક્ટ્રિક માટે σ_p, એ σ તને સમપ્રમાણમાં છે તેથી σ – σ_p, એ પણ σ ના સમપ્રમાણમાં જ હોય.
∴ σ – σ_p ∝ σ
તેથી σ – σ_p = \(\frac{\sigma}{\mathrm{K}}\) લખી શકીએ. જ્યાં K અચળાંક જે ડાયઇલેક્ટ્રિક માટે લાક્ષબ્રિક છે સ્પષ્ટપણે K > 1.
તેથી V = \(\frac{\sigma d}{\varepsilon_0 \mathrm{~K}}=\frac{\mathrm{Q} d}{\mathrm{~A} \varepsilon_0 \mathrm{~K}}\) [∵σ = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{A}}\) અને પરિણામ (2) પરથી]
ડાયઇલેક્ટ્રિકના માધ્યમવાળા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ,
C = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{A} \varepsilon_0 \mathrm{~K}}{d}=\mathrm{K} \frac{\mathrm{A} \varepsilon_0}{d}\)
∴ C = KC₀ ……………………….. (2) પરિણામ (1) પરથી.
આમ, K વયઇલેક્ટ્રિકના માધ્યમવાળા કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ, શૂન્યાવકાશના માધ્યમવાળા કેપેસિટરના કેપેસિટન્સ કરતાં K ગણું વધે છે.
ε₀K ને માધ્યમનો પરાવૈધૃતાંક (પરમિટિવિટી) કહે છે અને તેને દ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
દ = દ₀K
∴ K = \(\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}=\frac{C}{C_0}=\frac{E_0}{E} \)
ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંકની વ્યાખ્યા : “માધ્યમની પરમિટિવિટી અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીના ગુણોત્તરને ડાયઇલેક્ટ્રિકનો અચળાંક કહે છે.”
∴K = \( \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}\)
અથવા
“શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અને ડાયઇલેકિટ્રક માધ્યમમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાના ગુણોત્તરને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક કહે છે.”
∴ K = \(\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{C}_0}\)
અથવા
“ડાયઇલેકિટ્રકના માધ્યમવાળા સમાંતર પ્લેટ કંપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ અને શૂન્યાવકાશના માધ્યમવાળા સમાંતર પ્લેટ કૅપેસિટરના કૅપેસિટન્સના ગુણોત્તરને ડાયઈલેક્ટ્રિક અચળાંક કહે છે.”
∴ K = \(\frac{\mathrm{E}_0}{\mathrm{E}}\)

પ્રશ્ન 48.
કેપેસિટરના સંયોજનની જરૂરિયાત અને રીતો લખો.
ઉત્તર:
આપણી પાસે રહેલા કેપેસિટરના કેપેસિટન્સમાંથી જરૂરિયાત મુજબના કેપેસિટન્સના મૂલ્યો મેળવવા તેમના સંયોજનની જરૂર પડે.
કૅપેસિટરોના માત્ર બે પ્રકારના સંયોજનની નીચે મુજબની ચર્ચા કરીએ.

1. કેપેસિટરોનું શ્રેણી સંયોજન
2. કૅપેસિટરોનું સમાંતર સંયોજન

પ્રશ્ન 49.
કૅપેસિટરોનું શ્રેણી જોડાણ એટલે શું ? જુદા જુદા કેપેસિટન્સવાળા બે કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં C₁ અને C₂ કૅપેસિટન્સવાળા બે કૅપેસિટરોનું શ્રેન્ની જોડાણ દર્શાવ્યું છે.

C₁ કૅપેસિટરની ડાબી પ્લેટ અને C₂ કેપેસિટરની જમણી પ્લેટને બૅટરીના બે ટર્મિનલ સાથે જોડેલ છે અને તેમના પર અનુક્રમે Q અને –Q વિદ્યુતભાર એ કઠો થાય છે. આથી C₁ ની જમણી પ્લેટ પર -Q અને C₂ ની ડાબી પ્લેટ પર + Q વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થશે.
તેથી બંને કેપેસિટરોના કેપેસિટન્સ જુદા જુદા હોય પન્ન દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે.
ધારો કે, C₁ અને C₂ કૅપેસિટરના બે છેડા વચ્ચે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત અનુક્રમે V₁ અને V₂ છે. તેથી સંયોજનના બે છેaઓ વચ્ચેનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત V/ હોય તો,
V = V₁ +V₂ ……………………………. (1)
∴ V = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{C}_1}+\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{C}_2}\) [∵ C = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\) ⇒ V = \(\frac{Q}{C}\) ]
∴ \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Q}}=\frac{1}{\mathrm{C}_1}+\frac{1}{\mathrm{C}_2} \) …………………………… (2)

આ સંયોજનને વિદ્યુતભાર Q અને સ્થિતિમાનના તફાવત V ધરાવતા અસરકારક કેપેસિટર તરીકે ગણીએ તો આ શ્રેણી જોડણનું અસરકારક કૅપેસિટન્સ,
C = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}} \) ………………………….. (3)
∴ સમીકરન્ન (2) અને (3) પરથી,
\(\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \)

પ્રશ્ન 50.
જુદા જુદા કેપેસિટન્સવાળા n કૅપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણનું અસરકારક કેપેસિટન્સનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે C₁,C₂,C₃,……………….,C_n કેપેસિટન્સવાળા n કૅપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડેલા દર્શાવ્યા છે.

શ્રેણી જોડાણની ખાસિયત એ છે કે દરેક કંપેસિટર પર વિદ્યુતભાર સમાન હોય અને દરેક કેપેસિટરો પરના વિદ્યુત સ્થિતિમાનોનો તફાવત જુદો જુદો હોય,
ધારો કે, C₁,C₂,C₃,……………….,C_n કૅપેસિટરોના વિદ્યુત સ્થિતિમાનોનો તફાવત અનુક્રમે V₁,V₂,V₃,……………………………….,V_n છે.
શ્રેણી જોડાણનો કુલ વિદ્યુત રિથતિમાનનો તફાવત,
V = V₁+V₂+V₃+ …………………. V_n
∴ V = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{C}_1}+\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{C}_2}+\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{C}_3}+\ldots \frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{C}_n}\)
∴ \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Q}}=\frac{1}{\mathrm{C}_1}+\frac{1}{\mathrm{C}_2}+\frac{1}{\mathrm{C}_3}+\ldots \frac{1}{\mathrm{C}_n}\)

આ સંયોજનને વિદ્યુતભાર Q અને સ્થિતિમાનના તફાવત V ધરાવતા અસરકારક કેપેસિટર તરીકે ગણીએ, તો આ શ્રેણી જોવણનું અસરકારક કેપેસિટન્સ,
\(\frac{1}{\mathrm{C}}=\frac{1}{\mathrm{C}_1}+\frac{1}{\mathrm{C}_2}+\frac{1}{\mathrm{C}_3}+\ldots \frac{1}{\mathrm{C}_n}\)

આમ, શ્રેણી જોડાણનો સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ દરેક કેપેસિટરના કૅપેસિટન્સ પૈકી નાનામાં નાના કૅપેસિટન્સ કરતાં ઓછું (નાનું) હોય છે.
કૅપેસિટર્સના શ્રેણી જોડાક્ષના સમતુલ્ય કૅપેસિટન્સનો વ્યસ્ત શ્રેણીમાં ડેલા દરેક કેપેસિટરના કેપેસિટન્સના વ્યસ્તના સરવાળા જેટલો હોય છે.

પ્રશ્ન 51.
કેપેસિટરોનું સમાંતર જોડાણ એટલે શું ? અને બે જુદા જુદા કંપેસિટન્સના સમાંતર જોડાણનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ખાકૃતિ માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ના બે ડાણને કૅરૅસિટરોનું સમાંતર જોડાક્ષ કહે છે.
C₁ અને C₂ કેપેસિટન્સવાળા બે કેપેસિટરોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે જોડેલાં છે.
આ પ્રકારના જો ડાણમાં જુદા જુદા કૅપેસિટન્સવાળા કૅપેસિટરોના વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે પન્ન દરેક કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર જુદો જુદો હોય છે.

અને કુલ વિધુતભાર Q = Q₁ + Q₂
પણ Q₁ = C₁V, Q₂ = C₂V
∴ Q = C₁V + C₂V
∴ \(\frac{Q}{V}\) = C₁ +C ₂
પન્ન \(\frac{Q}{V}\) એ સમાંતરમાં જોડેલા બે કૅપેસિટરોનો સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ C કહીએ તો,
∴ C = C₁ + C₂

પ્રશ્ન 52.
જુદા જુદા કેપેસિટન્સવાળા n કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર C₁,C₂,C3,……………….,Cn કૅપેસિટન્સવાળા કૅપેસિટરોને સમાંતરમાં જોડેલાં છે.
અહીં દરેક કૅપેસિટરોના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે. પણ દરેક કેપેસિટરો પરનો વિદ્યુતભાર જુદો જુદો હોય છે.

ધારો કે, Q₁, Q₂,……………..,Q_n એ અનુક્રમે C₁,C₂,………………,C_n કેપેસિટરો પરના વિદ્યુતભારો છે તેથી કુલ વિધુતભાર Q = Q₁+Q₂+…………….,Q_n પણ
Q₁ = C₁V₁, Q₂ = C₂V₂, ………………, Q_n = C_nV
∴ Q = C₁V +C₂V+ ………………………..C_nV
∴ \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\) = C₁+ C₂+ ………………………… C_n
જો \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\) એ આપેલ જોડાત્રનો સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ હોય તો, C = C₁+ C₂+ …………… C_n
કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણન સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ સમાંતરમાં જો ડેલા કૅપેસિટરોના કૅપેસિટન્સના સરવાળા જેટલું હોય છે.
સમાંતરમાં જોડેલા કૅપેસિટરોનો સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ આ રીતે જો ડેલા કૅપેસિટરો પૈકી મોટામાં મોય કેપેસિટન્સ કરતાં મોટો હોય છે.

પ્રશ્ન 53.
કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણ અને સમાંતર જોડાણનો તફાવત લખો.
ઉત્તર:

શ્રેણી જોડાણ	સમાંતર જોડાણ
(1) આ જોડાણમાં દરેક કેપેસિટરો પરનો વિદ્યુતભારે સમાન હોય છે.	(1) આ જોડાણમાં દરેક કેપેસિટરોના વિદ્યુત સ્થિતિમાન તફાવત સમાન હોય છે.
(2) સમતુલ્ય કેપેસિટન્સનો વ્યસ્ત દરેક કેપેસિટન્સના વ્યસ્તોના સરવાળા જેટલો હોય છે.	(2) સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ દરેક કેપેસિટન્સના સરવાળા જેટલો હોય છે.
(3) સમતુલ્ય કૅપેસિટન્સનું મૂલ્ય શ્રેણીમાં ડેલા સૌથી નાના કેપેસિટન્સ કરતાં પણ ઓછું હોય છે.	(3) સમતુલ્ય કૅપેસિટન્સનું મૂલ્ય સમાંતરમાં જોડેલા સૌથી મોટા મૂલ્યના કૅપેસિટન્સ કરતાં મોટું હોય છે.
(4) આ જોડાણમાં કૅપેસિટરોની સંખ્યા વધતાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ધટે છે.	(4) આ જોડાણમાં કૅપેસિટરોની સંખ્યા વધતાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ વધે છે.
(5) આ પ્રકારે જોડાયેલા કૅપેસિટરોની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર વિજાતીય હોય છે.	(5) આ પ્રકારે જોડાયેલા કૅપેસિટરોની પ્લેટો પરનો વિધુતભાર સજાતીય હોય છે.
(6) દરેક કેપેસિટરની આસપાસનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત તેના કૅપેસિટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.	(6) દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર તેનાં કેપેસિટન્સના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

પ્રશ્ન 54.
કેપેસિટરમાં ઊર્જા કેવી રીતે સંગ્રહ પામે છે ? અને કેપેસિટરમાં સંગ્રહ પામતી ઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
વિદ્યુતભારવિહીન સુવાહકો 1 અને 2 આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબના લો.

• સુવાહક 2 પરથી ધન વિધુતભારને સુવાહક 1 પર ટુકડે-ટુકડે લઈ જાવ કે જેથી સુવાહક 1 વિદ્યુતભાર પ્રાપ્ત કરે.
• સુવાહક 2 પરથી ધન વિદ્યુતભારને સુવાહક 1 પર લઈ જવા માટે બહારથી કાર્ય કરવું પડશે કારણ કે કોઈ પણ તબક્કે સુવાહક 1 એ સુવાહક 2 કરતાં ઊંચા સ્થિતિમાને છે.
• કરેલા કુલ કાર્યની ગણતરી કરવા માટે આપણે પ્રથમ તો એક નાના પગલામાં અત્યંત સૂકમ વિદ્યુતભારના સ્થાનાંતરમાં થતાં કાર્ય પરથી કરીએ.
• ધારો કે, કોઈ તબક્કે સુવાહકો 1 અને 2 પર અનુક્રમે Q’ અને -Q’ વિદ્યુતભાર છે. આ તબક્કે તેમની વચ્ચેની સ્થિતિમાનનો તફાવત V’ = \(\frac{Q^{\prime}}{C}\) છે. જયાં C’ એ આ તંત્રનું સ્પેસિટન્સ છે. હવે સૂમ વિદ્યુતભાર ઠQ’ ને
• સુવાહક 2 પરથી 1 પર સ્થાનાંતરિત કરવા કરેલું કાર્ય,
  δW = V’δQ’
  ∴ δW = \(\frac{\mathrm{Q}^{\prime} \delta Q^{\prime}}{\mathrm{C}} \) …………………………….. (1)
• સુવાહક 2 પરથી સુવાહક 1 પર Q’ વિદ્યુતભારને લઈ જવા કરવું પડતું કુલ કાર્ય W = ∫dw સંકલન કરવાથી મળે.
  ∴ W = \(\int_0^{\mathrm{Q}} \frac{\mathrm{Q}^{\prime}}{\mathrm{C}} \cdot \delta \mathrm{Q}^{\prime}\)
  ∴ W = \(\frac{1}{C} \int_0^Q Q^{\prime} \delta Q^{\prime}\) = \(\frac{1}{\mathrm{C}}\left[\frac{\left(\mathrm{Q}^{\prime}\right)^2}{2}\right]_0^{\mathrm{Q}}\)
  = \(\frac{1}{C}\left[\frac{Q^2}{2}\right]\)
  ∴ W = \(\frac{\mathrm{Q}^2}{2 \mathrm{C}}\)
• સ્થિત વિધુતબળ સંરક્ષી હોવાથી આ કાર્ય કેપેસિટર જેવી બે સુવાહકોની રચનામાં સ્થિતિ ઊર્જા રૂપે સંગ્રહ પામે છે.
  આમ, કેપેસિટરની સ્થિતિને પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સંગ્રહ પામેલી ઊર્જા તરીકે જોઈ શકાય છે.
  ∴ કૅપેસિટરની સ્થિતિઊર્જા,
  U = \(\frac{\mathrm{Q}^2}{2 \mathrm{C}}\)
• આ સમીકરણના સમતુલ્ય બીજા વરૂપો,
  જો Q = CV મૂકીએ તો,
  U = \(\frac{1}{2} \mathrm{CV}^2\) મળે
• અને જે C = \(\frac{Q}{V}\) મૂકીએ તો,
  U = \(\frac{1}{2} \mathrm{QV}\) મળે.

પ્રશ્ન 55.
એકમ કદ દીઠ કૅપેસિટરમાં સંગ્રહ પામતી ઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
એકમ કદ દીઠ સંગ્રહ પામતી ઊર્જાને ઊર્જા ઘનતા કહે છે. કૅપેસિટરમાં સંગ્રહ પામતી ઊર્જા,

પણ Ad એ બે પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારનું કદ છે, .
∴ \(\frac{\mathrm{U}}{\mathrm{Ad} d}=\frac{1}{2} \varepsilon_0 \mathrm{E}^2\)
જે એકમ કદ દીઠ ઊર્જા ધનતા છે તેને ρ_E વડે દર્શાવાય છે અથવા ‘u’ વડે દર્શાવાય છે.
∴ એકમ કદ દીઠ ઊર્જા,
ρ_E = \(\frac{1}{2} \varepsilon_0 \mathrm{E}^2 \)

પ્રશ્ન 56.
ઘણા બધા કેપેસિટરોને શ્રેણી અથવા સમાંતરમાં જોડેલા હોય તો બતાવો કે તે બંનેમાં સંગ્રહ પામેલી ઊર્જાનો સરવાળો થાય છે.
ઉત્તર:
શ્રેણી જોડાણ માટે : કેપેસિટરોના શ્રેણી જોવણમાં Q અચળ રહે,
∴ કુલ સંગ્રહ પામેલી ઊર્જા,
U = \(\frac{\mathrm{Q}^2}{2} \cdot \frac{1}{\mathrm{C}}\)
= \(\frac{\mathrm{Q}^2}{2}\left[\frac{1}{\mathrm{C}_1}+\frac{1}{\mathrm{C}_2}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{C}_n}\right]\)
= \(\frac{\mathrm{Q}^2}{2 \mathrm{C}_1}+\frac{\mathrm{Q}^2}{2 \mathrm{C}_2}+\ldots+\frac{\mathrm{Q}^2}{2 \mathrm{C}_n}\)
∴ U = U₁ + U₂, +’… + U_n,
સમાંતર જોડાણ માટે : કંપેસિટરોના સમાંતર જોવણમાં V અચળ
∴ કુલ સંગ્રહ પામેલી ઊર્જા,
U = \(\frac{1}{2} \mathrm{CV}^2\)
= \(\frac{1}{2}\left[C_1+C_2+\ldots+C_n\right] V^2\)
= \(\frac{1}{2} \mathrm{C}_1 \mathrm{~V}^2+\frac{1}{2} \mathrm{C}_2 \mathrm{~V}^2+\ldots+\frac{1}{2} \mathrm{C}_n \mathrm{~V}^2\)
∴ U = U₁ + U₂, +’… + U_n,
આમ, કૅપેસિટરોના બંને પ્રકારના જોડાણમાં સંગ્રહ પામેલી ઊઓનો સરવાળો થાય છે.

દર્પણાના પરીક્ષાલક્ષી દાખલા

પ્રશ્ન 1.
એક વિધુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{E}}=A x \hat{i}\) વડે રજૂ થાય છે,
જ્યાં A = 10\(\frac{V}{m^2}\) છે. આ ક્ષેત્રમાં (10, 20)m બિંદુની સાપેક્ષે ઊગમબિંદુનું સ્થિતિમાન શોધો.
ઉત્તર:
સહી \(\overrightarrow{\mathrm{E}}=\mathrm{A} x \hat{i}=10 x \hat{i}\)
ઊગમબિંદુ 0 ના યામ = (0, 0)m
ધારો કે ક્ષેત્રમાં P બિંદુના યામ = (10, 20)m
V(0,0) – V (10,20) = \(-\int_{(10,20)}^{(0,0)} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{d r}\)
= \(-\int_{(10,20)}^{(0,0)}(10 x \hat{i}) \cdot(d x \hat{i}+d y \hat{j})\)
∴ V(0,0) = \(-\int_{10}^0 10 x d x\) બંને બિંદુના x – યામ
= -10\(\left[\frac{x^2}{2}\right]_{10}^0\)
∴ V(0,0) = 500 વોલ્ટ

પ્રશ્ન 2.
R ત્રિજ્યાના અવાહક ગોળામાં વિધુતભાર Q નિયમિત રીતે વિતરીત કરેલો છે, તો ગોળાના કેન્દ્રથી r (< R) અંતરે વિધુત સ્થિતિમાન શોધો. ગોળાના કેન્દ્રથી r (r < R) અંતરે વિધુતક્ષેત્ર \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{R^3}\) rr̂ લો. ગોળાના કેન્દ્ર પર પણ વિધુત સ્થિતિમાન શોધો.
ઉત્તર:
આપણે જાણીએ છીએ કે, અવાહક ગોળાના પૃષ્ઠ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન V(R) = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R} \) હોય છે.
આથી, આપણે V(r) – V(R) = \(-\int_R^r \vec{E} \cdot d \vec{l} \) નો ઉપયોગ કરી શકીએ.
∴ V(r) – V(R) = \(-\int_{\mathrm{R}}^r \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{R}^3} r d r(\hat{r} \cdot \hat{r}) \) (∵ \(d \vec{r}=d r \hat{r}\) )

પ્રશ્ન 3.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં એક પ્લેટ પર બીજી પ્લેટને લીધે લાગતું બળ F = \(\frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{CV}^2}{d}\) હોય છે, તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તર:
અત્રે, એક પ્લેટ વડે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર,
E₁ = \(\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\) ………………………… (1)
આ ક્ષેત્રમાં σA વિદ્યુતભાર ધરાવતી બીજી પ્લેટ રહેલી છે.
∴ બીજી પ્લેટ પર લાગતું બળ F = E₁ (σA)
સમીકરણ (i) માંથી E₁ નું મૂલ્ય મૂકતાં,

પ્રશ્ન 4.
આકૃતિમાં દશવિલ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ શોધો. પ્લેટ ABનું ક્ષેત્રફળ A છે. K₁, K₂, K₃ તે દ્રવ્યોના ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંકો છે,

ઉત્તર:
અહીં K₂ અને K₃ થી બનતા કેપેસિટી સમાંતરમાં હોવાથી તેમનું અસરકારક કૅપેસિટન્સ C₂₃ હોય તો
C₂₃ = C₂+C₃ = \(\frac{\mathrm{K}_2 \varepsilon_0(\mathrm{~A} / 2)}{(d / 2)}+\frac{\mathrm{K}_3 \varepsilon_0(\mathrm{~A} / 2)}{(\mathrm{d} / 2)}\)
= \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\left(\mathrm{~K}_2+\mathrm{K}_3\right)\)
હવે K₁ થી બનતું કૅપેસિટર C₂₃ સાથે શ્રેણીમાં ગઠ્ઠાય. જે સમગ્ર તંત્રનું સમતુલ્ય કંપેસિટન્સ C હોય તો,

પ્રશ્ન 5.
એક પદાર્થનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક 2.0 અને ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ 20 x 10⁶ V/m છે. તેને સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક દ્રવ્ય તરીકે લેવામાં આવેલ છે. કેપેસિટન્સનું મૂલ્ય 8.85 × 10^-2 μF બને અને તે પ્લેટો વચ્ચેના 2000Vના વિધુત સ્થિતિમાનના તફાવતને પણ ખમી શકે તે માટે તે દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ ઓછામાં ઓછું કેટલું હોવું જોઈએ ?
ઉત્તર:
કેપેસિટર પરનો વિધુતભાર Q = CV = (8.85 × 10^-8) (2000)
= 17.7 x 10^-5 C
પ્લેટ પર વિધુતભારની પૃષ્ઠધનતા
σ = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{A}}=\frac{17.7 \times 10^{-5}}{\mathrm{~A}} \mathrm{C} / \mathrm{m}^2 \) ……………… (1)
ડાયઈલેક્ટ્રિક મૂકતાં કૅપેસિટરમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર,
E = \(\frac{E_0^{\prime}}{K}\)
પલ E₀ = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)
∴ E = \(\frac{\sigma}{K \varepsilon_0}=\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{K} \varepsilon_0 \mathrm{~A}}\)
∴ A = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{KE}_0} \frac{17.7 \times 10^{-5}}{2 \times 20 \times 10^6 \times 8.85 \times 10^{-12}}\)
∴ A = 0.5 m²

પ્રશ્ન 6.
કોઈ એક વિસ્તારમાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન V(x, y, z) = 2x²y + 3y³x – 4z⁴x સૂગ પસ્થી મળે છે. તેમાંના બિંદુ (1, 1, 1) પાસે વિધુતક્ષેત્રના ઘટકો અને વિધુતક્ષેત્ર સદિશ શોધો.
ઉત્તર:
V(x,y,z) = 2x²y+ 3y³z – 4z⁴x
∴ E_x = \( \frac{\partial \mathrm{V}}{\partial x}=-\frac{\partial}{\partial x}\) (2x²y+ 3y³z – 4z⁴x)
∴ E_x = -(4xy+0-4z⁴)

પ્રશ્ન 7.
પાણીનું એક ગોળાકાર બુંદ 3 x 10^-10 C વિધુતભાર ધરાવે છે. તેની સપાટી પનું વિધુત સ્થિતિમાન 500 V છે. આ બુંદની ત્રિજ્યા શોધો. હવે આવા આઠ સમાન બુંદો (સમાન વિધુતભાર અને સમાન નિયા) એકબીજામાં ભળી જઈને એક નવું બુંદ બનાવે, તો આ વિા બુંદની સપાટી પર સ્થિતિમાન કેટલું થશે ? (k = 9 x 10⁹ SI)
ઉત્તર:
ધારો કે બુંદની ત્રિજયા R છે. તેની સપાટી પર 3 x 10^-10C જેટલો વિદ્યુતભાર, સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન 500 V છે.
∴ V = \(\frac{k \mathrm{Q}}{\mathrm{R}}\)
∴ R = \(\frac{k \mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\)
= \(\frac{9 \times 10^9 \times 3 \times 10^{-10}}{500}\)
= 5.4 × 10^-3m = 0.54 × 10^-2 m
∴ R = 0.54 cm
હવે 8 બુંદ ભેગા થવાથી મોટું બંદ રચે છે. જેની ત્રિજયા R’ છે. અને મોટા બુંદનું કદ VF થાય છે.
∴ V” = 8V
∴ \(\frac{4}{3} \pi\left(\mathrm{R}^{\prime}\right)^3=8 \times \frac{4}{3} \pi(\mathrm{R})^3\)
∴ (R’)³ = 8(R)³
∴ R’ = 2R
∴ R’ = 2 × 0.54 = 1.08 cm = 1.08 × 10^-2 m
અને મોટા બુંદ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર
Q’ = 8 x 3 x 10^-10 = 24 x 10^-10C
∴ મોટા ગુંદનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
V’ = \(\frac{k \mathrm{Q}^{\prime}}{\mathrm{R}^{\prime}}=\frac{9 \times 10^9 \times 24 \times 10^{-10}}{1.08 \times 10^{-2}} \)
∴ V’ = 2000 V
બીજી રીત : ધારો કે, બુંદની ત્રિજ્યા R છે. તેની સપાટી પર 3 x 10^-10C જેટલો વિદ્યુતભાર છે. તેથી સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન 500 V મળે છે.
V = \(\frac{k \mathrm{Q}}{\mathrm{R}} \)
∴ R = \(\frac{k \mathrm{Q}}{\mathrm{V}}=\frac{9 \times 10^9 \times 3 \times 10^{-10}}{500}\)
∴ R= \(\frac{2.7}{500}\) = 0.0054 m
∴ R = 0.54 cm
આપેલ પરિસ્થિતિમાં નવા બુદની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન,
V ‘ = n^{\(\frac{2}{3}\)} V
= (8) ^{\(\frac{2}{3}\)} × 500
= 4 × 500 = 2000
∴V’ = 2000 V

પ્રશ્ન 8.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે A, B અને C ત્રણ સમકેન્દ્રીય ધાતુની કવયો (shells) છે. તેમની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે a, b અને c છે. (a < b < c) તેમની પૃષ્ઠવિધુતભારપનતાઓ અનુક્રમે σ, –σ અને σ છે, તો કવચ Aની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન શોધો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ત્રણ સમકેન્દ્રીય ધાતુના કવચ A, B અને C ની ત્રિજ્યા અનુક્રમે a, B અને C છે. જ્યાં (a < B < c). વળી તેમની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાઓ અનુક્રમે
σ, –σ અને σ ધારો કે તેમના ઉપરના વિધુતભારો અનુક્રમે q_A,q_B અને q_C છે.
∴ q_A = 4πa²σ
q_B = 4πb²(-σ) = – 4πb²σ
q_C = 44πc²σ
હવે ધારો કે A, B અને C ના વિદ્યુતસ્થિતિમાન અનુક્રમે V_A, V_B અને V_C છે.
ક્વચ A કે જે B અને C કવચની અંદર આવેલ છે તેની સપાટી પરના કોઈ બિંદુ પાસે વિદ્યુતસ્થિતિમાન,

પ્રશ્ન 9.
આકૃતિમાં દશર્વિલ દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ A અને ક્રમિક પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર તું છે, તો A અને B બિંદુઓ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ કેટલું હશે ?

સમતુલ્ય પરિપથ

દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\)
સમાંતર જોડાત્રનું સમતુલ્ય કૅપેસિટન્સ C’ = C+C = 2C
હવે C’ અને C ના શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કૅપેસિટન્સ C_AB હોય તો \( \frac{1}{\mathrm{C}_{\mathrm{AB}}}=\frac{1}{\mathrm{C}^{\prime}}+\frac{1}{\mathrm{C}}\)
\(\frac{1}{\mathrm{C}_{\mathrm{AB}}}=\frac{1}{2 \mathrm{C}}+\frac{1}{\mathrm{C}}\)
= \(\frac{1+2}{2 C}\)
= \(\frac{3}{2 C}\)
∴ C_AB = \(\frac{2 C}{3}\)
પણ C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\) મૂકતાં,
C_AB = \(\frac{2}{3} \frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\)