Gujarat Board GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 3 ચતુષ્કોણની સમજ Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 3 ચતુષ્કોણની સમજ Ex 3.1
પ્રશ્ન 1.
અહીં કેટલીક આકૃતિઓ આપેલ છે.
પ્રત્યેકનું નીચે દર્શાવેલ આધાર પ્રમાણે વર્ગીકરણ કરો:
(a) સરળ વક્ર
(b) સરળ બંધ વક્ર
(c) બહુકોણ
(d) બહિર્મુખ બહુકોણ
(e) અંતર્મુખ બહુકોણ
ઉત્તરઃ
(a) સરળ વક્રઃ (1), (2), (5), (6) અને (7)
(b) સરળ બંધ વક્ર : ( 1), (2), (5), (6) અને (7)
(c) બહુકોણ : (1), (2) અને (4)
(d) બહિર્મુખ બહુકોણ : (2)
(e) અંતર્મુખ બહુકોણ (1) અને (4)
પ્રશ્ન 2.
નીચે દર્શાવેલ પ્રત્યેકને કેટલા વિકર્ણ છે તે જણાવો:
(a) બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ
(b) નિયમિત ષટ્કોણ
(c) ત્રિકોણ
ઉત્તરઃ
સૂત્ર યાદ રાખોઃ
n બાજુઓવાળા બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા
= \(\left[\frac{n(n-1)}{2}-n\right]\)
= \(\frac{n^{2}-n-2 n}{2}\)
= \(\frac{n^{2}-3 n}{2}\)
(a) બહિર્મુખ ચતુષ્કોણને ચાર બાજુઓ હોય છે. ∴ n = 4
∴ વિકણની સંખ્યા = \(\left[\frac{4(4-1)}{2}-4\right]\)
= \(\left[\frac{4(3)}{2}-4\right]\)
= \(\left[\frac{12}{2}-4\right]\)
= [6 – 4]
= 2
(b) નિયમિત પકોણને છ બાજુઓ હોય છે. ∴ n = 6
∴ વિકર્ણોની સંખ્યા = \(\left[\frac{6(6-1)}{2}-6\right]\)
= \(\left[\frac{6(5)}{2}-6\right]\)
= \(\left[\frac{30}{2}-6\right]\)
= [15 – 6]
= 9
(c) ત્રિકોણને ત્રણ બાજુઓ હોય છે. ∴ n = 3
∴ વિકર્ણોની સંખ્યા = \(\left[\frac{3(3-1)}{2}-3\right]\)
= \(\left[\frac{3(2)}{2}-3\right]\)
= \(\left[\frac{6}{2}-3\right]\)
= [3 – 3]
= 0
પ્રશ્ન 3.
બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના ખૂણાનાં માપનો સરવાળો કેટલો થાય? હવે જો, ચતુષ્કોણ બહિર્મુખ ના હોય, તો શું આ ગુણધર્મ લાગુ પડશે? (એક બહિર્મુખ ના હોય તેવો ચતુષ્કોણ બનાવો અને પ્રયત્ન કરો.)
ઉત્તરઃ
બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના બધા ખૂણાનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે.
જો ચતુષ્કોણ બહિર્મુખ ના હોય, એટલે કે અંતર્મુખ હોય તોપણ હા, તેના બધા ખૂણાનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે.
જુઓ અહીં ▢ ABCD અંતર્મુખ ચતુષ્કોણ છે.
તેમાં m∠A + m∠B + m∠C + m∠D
= 40° + 55° + 35° + 230° = 360°
પ્રશ્ન 4.
નીચેનું કોષ્ટક જુઓ. (અહીં પ્રત્યેક આકૃતિને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરેલ છે અને તેના પરથી ખૂણાનાં માપનો સરવાળો શોધેલ છે.)
નિમ્નલિખિત સંખ્યા દર્શાવતી બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના ખૂણાનાં માપના સરવાળા વિશે શું કહી શકાય?
(a) 7
(5) 8
(c) 10
(d) n
ઉત્તરઃ
ઉપરના કોષ્ટક પરથી અનુમાન કરી શકાય કે n-બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના અંદરના બધા ખૂણાનાં માપનો સરવાળો = (n – 2) × 180°
(a) 7 બાજુઓવાળા બહુકોણ માટે અહીં, n = 7 લઈશું:
= (n – 2) × 180°
અંદરના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો = (7 – 2) × 180°
= 5 × 180° = 900°
(b) 8 બાજુઓવાળા બહુકોણ માટે અહીં, n = 8
લઈશું: અંદરના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો = (n – 2) × 180°
= (8 – 20) × 180° = 6 × 180° = 1080°
(c) 10 બાજુઓવાળા બહુકોણ માટે : અહીં, n = 10 લઈશું :
અંદરના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો = (n – 2) × 180°
= (10 – 2) × 180° = 8 × 180° = 1440°
(d) n બાજુઓવાળા બહુકોણ માટે:
અંદરના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો = (n – 2) × 180°
પ્રશ્ન 5.
નિયમિત બહુકોણ એટલે શું? એવા નિયમિત બહુકોણનાં નામ આપો જેમાં:
(i) 3 બાજુ હોય
(ii) 4 બાજુ હોય
(iii) 6 બાજુ હોય
ઉત્તરઃ
નિયમિત બહુકોણ એટલે –
(1) અંદરના બધા જ ખૂણાઓનાં માપ સરખાં હોય
(2) બહુકોણની બધી જ બાજુઓનાં માપ સરખાં હોય
માગેલા બહુકોણનાં નામ:
(i) 3 બાજુ હોયઃ સમબાજુ ત્રિકોણ
(ii) 4 બાજુ હોયઃ ચોરસ
(iii) 6 બાજુ હોયઃ નિયમિત પકોણ
પ્રશ્ન 6.
નીચેની આકૃતિઓમાં x (ખૂણાનું માપ) શોધો :
(a)
ઉત્તરઃ
ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો = 360°
∴ x + 120° + 130° + 50° = 360°
∴ x + 300° = 360°
∴ x = 360° – 300° (∵ 300° ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ x = 60°
(b)
ઉત્તરઃ
ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો = 360°
∴ x + 60° + 70° + 90° = 360°
∴ x + 220° = 360°
∴ x = 360° – 220° (∵ 220° ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ x = 140°
(c)
ઉત્તરઃ
અહીં ચતુષ્કોણના પાયાના બે ખૂણાઓ રેખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
∴ પાયાના બે ખૂણાનાં માપ અનુક્રમે (180° – 70°) = 110° અને (180° – 60°) = 120° છે.
અહીં આપેલી આકૃતિ પંચકોણની છે.
∴ પંચકોણના અંદરના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો
= (n – 2) × 180 = (5 – 2) × 180 = 3 × 180 = 540
∴ 30° + x + x + 110° + 120° = 540°
∴ 2x + 260° = 540°
∴ 2x = 540° – 260° (∵260°ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 2x = 280°
∴ \(\frac{2 x}{2}=\frac{280^{\circ}}{2}\) (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતા)
∴ x = 140°
(d)
ઉત્તરઃ
અહીં આપેલી આકૃતિ એ નિયમિત પંચકોણની છે.
નિયમિત પંચકોણના અંદરના બધા ખૂણાઓનાં માપ સરખાં હોય છે.
ધારો કે, આ દરેક ખૂણાનું માપ x છે.
નિયમિત પંચકોણના અંદરના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો
(5 – 2) × 180 = 3 × 180° = 540°
∴ x + x + x + x + x = 540°
∴ 5x = 540°
∴ \(\frac{5 x}{5}=\frac{540^{\circ}}{5}\) (∵ બંને બાજુ 5 વડે ભાગતાં)
∴ x = 108°
પ્રશ્ન 7.
(a) x + y + z શોધો.
ઉત્તરઃ
x + 90° = 180° (∵ રૈખિક જોડના ખૂણા)
∴ x = 180° – 90° ∴ x = 90°
y = 30° + 90° (∵ અંતઃસંમુખકોણનો સરવાળો)
∴ y = 120°
z = 180° – 30° (∵ રેખિક જોડના ખૂણા)
∴ z = 150°
હવે, x + y + z = 90° + 120° + 150° = 360°
(b) x + y + z + w શોધો.
ઉત્તરઃ
સૌપ્રથમ વ ખૂણાનું માપ શોધવું પડશે.
ચતુષ્કોણના અંદરના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો = 360°
∴ a + 120° + 80° + 60° = 360°
∴ a + 260° = 360°
∴ a = 360° – 260° ∴ a = 100°
હવે, x + 120° = 180°
(∵ રેખિક જોડના ખૂણા)
∴ x = 180° – 120° ∴ x = 60°
વળી, y + 80° = 180°
(∵ રેખિક જોડના ખૂણા)
∴ y = 180° – 80° ∴ y = 100°
વળી, z + 60° = 180° (∵ રેખિક જોડના ખૂણા)
∴ z = 180° – 60° ∴ z = 120°
વળી, w + 100° = 180° (∵ રેખિક જોડના ખૂણા)
∴ w = 180° – 100° ∴ w = 80°
આમ, x + y + z + w = 60° + 100° + 120° + 80° = 360°